Найти промежутки возрастания и убывания функции: 1) y = x ^ 2 - x 2) y = 5x ^ 2 - 3x - 1 3) y = x ^ 2 + 2x 4) y = x ^ 2 + 12x - 100

Давайте рассмотрим, как найти промежутки возрастания и убывания для каждой из данных функций. Для этого нам необходимо использовать производную функции, так как она показывает, где функция возрастает или убывает. Если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна — убывает.

1) \( y = x^2 - x \)

1. Найдите производную: \[ y' = 2x - 1 \]

2. Найдите критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \]

3. Определите знаки производной на промежутках:

   • Для \( x < \frac{1}{2} \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
   • Для \( x > \frac{1}{2} \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)

Ответ:

• Убывает на промежутке \( (-\infty, \frac{1}{2}) \)
• Возрастает на промежутке \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)

2) \( y = 5x^2 - 3x - 1 \)

1. Найдите производную: \[ y' = 10x - 3 \]

2. Найдите критические точки: \[ 10x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{10} \]

3. Определите знаки производной:

   • Для \( x < \frac{3}{10} \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
   • Для \( x > \frac{3}{10} \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)

Ответ:

• Убывает на промежутке \( (-\infty, \frac{3}{10}) \)
• Возрастает на промежутке \( (\frac{3}{10}, +\infty) \)

3) \( y = x^2 + 2x \)

1. Найдите производную: \[ y' = 2x + 2 \]

2. Найдите критические точки: \[ 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \]

3. Определите знаки производной:

   • Для \( x < -1 \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
   • Для \( x > -1 \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)

Ответ:

• Убывает на промежутке \( (-\infty, -1) \)
• Возрастает на промежутке \( (-1, +\infty) \)

4) \( y = x^2 + 12x - 100 \)

1. Найдите производную: \[ y' = 2x + 12 \]

2. Найдите критические точки: \[ 2x + 12 = 0 \implies x = -6 \]

3. Определите знаки производной:

   • Для \( x < -6 \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
   • Для \( x > -6 \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)

Ответ:

• Убывает на промежутке \( (-\infty, -6) \)
• Возрастает на промежутке \( (-6, +\infty) \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить некоторые моменты, не стесняйтесь обращаться!