Найдите наименьшее значение функции отрезке [-5;-1] y=(x+3) e 3x на

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = (x + 3)e^{3x} \) на отрезке \( [-5; -1] \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}((x + 3)e^{3x}) = (x + 3) \frac{d}{dx}(e^{3x}) + e^{3x} \frac{d}{dx}(x + 3) \] \[ = (x + 3)(3e^{3x}) + e^{3x} \cdot 1 = 3(x + 3)e^{3x} + e^{3x} = (3(x + 3) + 1)e^{3x} \] \[ = (3x + 10)e^{3x} \]

2. Найти критические точки функции: Установим \( y' = 0 \): \[ (3x + 10)e^{3x} = 0 \] Поскольку \( e^{3x} \) никогда не равняется нулю, то: \[ 3x + 10 = 0 \implies x = -\frac{10}{3} \approx -3.33 \]

3. Проверить, находится ли критическая точка в заданном отрезке: Критическая точка \( x = -\frac{10}{3} \) находится в интервале \( [-5; -1] \).

4. Вычислить значение функции в критической точке и на концах отрезка:

   • Для \( x = -5 \): \[ y(-5) = (-5 + 3)e^{-15} = -2e^{-15} \]
   • Для \( x = -\frac{10}{3} \): \[ y\left(-\frac{10}{3}\right) = \left(-\frac{10}{3} + 3\right)e^{-10} = \left(-\frac{10}{3} + \frac{9}{3}\right)e^{-10} = -\frac{1}{3}e^{-10} \]
   • Для \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1 + 3)e^{-3} = 2e^{-3} \]

5. Сравнить найденные значения: Теперь мы сравним значения:

   • \( y(-5) = -2e^{-15} \)
   • \( y\left(-\frac{10}{3}\right) = -\frac{1}{3}e^{-10} \)
   • \( y(-1) = 2e^{-3} \)

Теперь подставим приближенные значения \( e^{-15} \approx 3.059 \times 10^{-7} \), \( e^{-10} \approx 4.539 \times 10^{-5} \), \( e^{-3} \approx 0.0498 \):

• \( y(-5) \approx -2 \cdot 3.059 \times 10^{-7} \approx -6.118 \times 10^{-7} \)
• \( y\left(-\frac{10}{3}\right) \approx -\frac{1}{3} \cdot 4.539 \times 10^{-5} \approx -1.513 \times 10^{-5} \)
• \( y(-1) \approx 2 \cdot 0.0498 \approx 0.0996 \)

Наименьшее значение из трех: \[ \min\left(-6.118 \times 10^{-7}, -1.513 \times 10^{-5}, 0.0996\right) = -1.513 \times 10^{-5} \]

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке \([-5; -1]\) равно \(-\frac{1}{3}e^{-10}\).