Найдите наименьшее значение функции отрезке [-5;-1] y=(x+3)^2 e 3-x на
Для нахождения наименьшего значения функции \( y = (x + 3)^2 \cdot e^{3 - x} \) на отрезке \( [-5; -1] \) необходимо выполнить следующие шаги:
- Найти производную функции.
- Найти критические точки на заданном интервале, приравняв производную к нулю.
- Вычислить значение функции в критических точках и на границах отрезка.
- Сравнить все найденные значения, чтобы определить наименьшее.
Шаг 1: Найдем производную функции
Функция имеет форму произведения \( u(x) = (x + 3)^2 \) и \( v(x) = e^{3 - x} \). Мы применим правило Лейбница (правило произведения):
\[ y' = u'v + uv' \]
Где:
- \( u' = 2(x + 3) \)
- \( v' = -e^{3 - x} \)
Теперь подставляем:
\[ y' = 2(x + 3) \cdot e^{3 - x} + (x + 3)^2 \cdot (-e^{3 - x}) \] \[ y' = e^{3 - x} \left( 2(x + 3) - (x + 3)^2 \right) \] \[ = e^{3 - x} \left( 2(x + 3) - (x^2 + 6x + 9) \right) \] \[ = e^{3 - x} \left( -x^2 - 4x - 3 \right) \]
Теперь нам нужно найти, где \( y' = 0 \):
\[ e^{3 - x} \neq 0 \Rightarrow -x^2 - 4x - 3 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 2}{2} = -2, -3 \]
Шаг 2: Критические точки
Таким образом, критические точки на интервале \( [-5, -1] \):
- \( x_1 = -2 \)
- \( x_2 = -3 \)
Шаг 3: Вычислим значения функции
Теперь найдем значения функции в критических точках и на границах интервала.
- \( y(-5) = (-5 + 3)^2 \cdot e^{3 - (-5)} = 4 \cdot e^8 \)
- \( y(-3) = (-3 + 3)^2 \cdot e^{3 - (-3)} = 0 \cdot e^6 = 0 \)
- \( y(-2) = (-2 + 3)^2 \cdot e^{3 - (-2)} = 1 \cdot e^5 = e^5 \)
- \( y(-1) = (-1 + 3)^2 \cdot e^{3 - (-1)} = 4 \cdot e^4 \)
Шаг 4: Сравняем найденные значения
- \( y(-5) = 4e^8 \)
- \( y(-3) = 0 \)
- \( y(-2) = e^5 \)
- \( y(-1) = 4e^4 \)
Наименьшее значение среди них:
Наименьшее значение на отрезке \( [-5; -1] \) достигается в точке \( x = -3 \) и равно \( 0 \).
Таким образом, наименьшее значение функции на данном отрезке равно 0.
