составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=sin(2x+π\6) в точке его пересечения с осью ординат
Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \) в точке его пересечения с осью ординат, нужно выполнить несколько шагов.
Найти точку пересечения с осью ординат: Эта точка находится при \( x = 0 \).
Подставим \( x = 0 \) в функцию: \[ f(0) = \sin(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}. \] Таким образом, точка пересечения с осью ординат — это \( (0, \frac{1}{2}) \).
Найти производную функции: Для нахождения углового коэффициента касательной мы воспользуемся производной.
Деривируем \( f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \): \[ f'(x) = 2\cos(2x + \frac{\pi}{6}). \]
Теперь подставим \( x = 0 \) для нахождения углового коэффициента в точке касания: \[ f'(0) = 2\cos(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}) = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. \]
Составить уравнение касательной: Уравнение касательной в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид: \[ y - y_0 = m(x - x_0), \] где \( m \) — угловой коэффициент, а \( (x_0, y_0) \) — координаты точки касания.
В нашем случае \( (x_0, y_0) = (0, \frac{1}{2}) \), а \( m = \sqrt{3} \): \[ y - \frac{1}{2} = \sqrt{3}(x - 0). \] Преобразуем это уравнение: \[ y = \sqrt{3} x + \frac{1}{2}. \]
Итак, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \) в точке его пересечения с осью ординат выглядит следующим образом: \[ y = \sqrt{3} x + \frac{1}{2}. \]
