составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=sin(2x+π\6) в точке его пересечения с осью ординат
Чтобы составить уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \) в точке ее пересечения с осью ординат, нам нужно выполнить несколько шагов.
Найти точку пересечения с осью ординат. Это происходит, когда \( x = 0 \): \[ f(0) = \sin\left(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}. \] Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \( (0, \frac{1}{2}) \).
Найти производную функции. Это необходимо для нахождения углового коэффициента касательной: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\sin(2x + \frac{\pi}{6})\right) = 2\cos(2x + \frac{\pi}{6}). \]
Вычислим значение производной в точке \( x = 0 \): \[ f'(0) = 2 \cos\left(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. \] Таким образом, угловой коэффициент касательной равен \( \sqrt{3} \).
Составим уравнение касательной. В общем виде уравнение касательной можно записать как: \[ y - y_0 = m(x - x_0), \] где \( (x_0, y_0) = (0, \frac{1}{2}) \), а \( m = \sqrt{3} \). Подставим значения: \[ y - \frac{1}{2} = \sqrt{3}(x - 0). \] Упрощая, получаем: \[ y = \sqrt{3}x + \frac{1}{2}. \]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \) в точке ее пересечения с осью ординат равно: \[ y = \sqrt{3}x + \frac{1}{2}. \]
