\lim_{x\to{0}}{\frac{\left(1+m\,x\right)^{n}-\left(1+n\,x\right)^{m}}{x^{2}}}
Чтобы вычислить предел \(\lim_{x\to{0}}{\frac{\left(1+m\,x\right)^{n}-\left(1+n\,x\right)^{m}}{x^{2}}}\), нам следует использовать разложение в ряд Тейлора для каждого из выражений в числителе.
Для \( (1 + mx)^n \) и \( (1 + nx)^m \) при \( x \to 0 \) можно воспользоваться разложением, которое выглядит следующим образом:
- \((1 + mx)^n \approx 1 + n mx + \frac{n(n-1)}{2} (mx)^2 + O(x^3)\)
- \((1 + nx)^m \approx 1 + m nx + \frac{m(m-1)}{2} (nx)^2 + O(x^3)\)
Теперь подставим эти разложения в предел:
\[ (1 + mx)^n - (1 + nx)^m \approx \left(1 + n mx + \frac{n(n-1)}{2} m^2 x^2\right) - \left(1 + m nx + \frac{m(m-1)}{2} n^2 x^2\right) \]
При упрощении получим:
\[ (n mx - m nx) + \left(\frac{n(n-1)}{2} m^2 x^2 - \frac{m(m-1)}{2} n^2 x^2\right) + O(x^3) \]
Пользуясь тем, что \( mx \) можно вынести за скобки:
\[ (n m - m n)x + \left(\frac{n(n-1)}{2} m^2 - \frac{m(m-1)}{2} n^2\right) x^2 + O(x^3) \]
Все, что зависит от \(x\), уходит в предел. Остается только второй член с \(x^2\), поэтому получаем:
\[ \lim_{x\to{0}}{\frac{\left(1+m\,x\right)^{n}-\left(1+n\,x\right)^{m}}{x^{2}}} = \frac{n(n-1)}{2} m^2 - \frac{m(m-1)}{2} n^2 \]
Таким образом, конечный ответ:
\[ \lim_{x\to{0}}{\frac{\left(1+m\,x\right)^{n}-\left(1+n\,x\right)^{m}}{x^{2}}} = \frac{1}{2} \left(n(n-1)m^2 - m(m-1)n^2\right) \]
