вычеслите 3arcsin+4arccos(-√2/2)-arctg(-√3/3)
Чтобы вычислить выражение \(3 \cdot \arcsin(x) + 4 \cdot \arccos(-\sqrt{2}/2) - \arctan(-\sqrt{3}/3)\), давайте разложим его на составные части.
Вычисление \(4 \cdot \arccos(-\sqrt{2}/2)\): Значение \(-\sqrt{2}/2\) соответствует углу \(\frac{3\pi}{4}\) или \(135^\circ\), поскольку косинус этого угла равен \(-\sqrt{2}/2\). Таким образом: \[ \arccos(-\sqrt{2}/2) = \frac{3\pi}{4} \] Теперь умножим это значение на 4: \[ 4 \cdot \arccos(-\sqrt{2}/2) = 4 \cdot \frac{3\pi}{4} = 3\pi \]
Вычисление \(-\arctan(-\sqrt{3}/3)\): Значение \(-\sqrt{3}/3\) соответствует углу \(-\frac{\pi}{6}\) или \(-30^\circ\) (можно также рассмотреть \(\frac{5\pi}{6}\)). Таким образом: \[ \arctan(-\sqrt{3}/3) = -\frac{\pi}{6} \] Следовательно: \[ -\arctan(-\sqrt{3}/3) = \frac{\pi}{6} \]
Теперь мы имеем: \(3 \cdot \arcsin(x) + 3\pi + \frac{\pi}{6}\).
Здесь следует учитывать, что можем выбирать значение \(x\) для функции арксинуса. Обычно, если мы рассматриваем стандартное значение, то можно взять \(x = \frac{1}{2}\) (что соответствует углу \(\frac{\pi}{6}\)): \[ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \] Тогда: \[ 3 \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \]
Теперь подставим все значения в исходное выражение: \[ \frac{\pi}{2} + 3\pi + \frac{\pi}{6} \] Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для \(2, 1, 6\) — \(6\): \[ \frac{3\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 18\pi + \pi}{6} = \frac{22\pi}{6} = \frac{11\pi}{3} \]
Итак, окончательный результат равен: \[ \frac{11\pi}{3} \]
