110 Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Чтобы доказать, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник является равнобедренным, рассмотрим треугольник ABC, где M — это середина стороны BC, а AM — медиана, которая также является высотой треугольника.

1. Определение: Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Высота — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

2. Свойства: Поскольку AM является и медианой, и высотой, значит, отрезок AM перпендикулярен стороне BC.

3. Доказательство по элементарной геометрии:

   • В треугольнике ABC проведем высоту из вершины A к стороне BC. Пусть H — точка пересечения высоты с BC.
   • С учетом того, что M — середина BC, у нас есть BM = MC.
   • Так как AM — высота, тогда угол AMH равен 90 градусам, и, соответственно, угол AMB также равен 90 градусам.

4. Использование теоремы о равных углах: Угол AMB равен углу AMC, поскольку AM является общим катетом треугольников AMB и AMC, а также BM = MC (по определению средней линии).

5. Согласно теореме о равенстве треугольников: Таким образом, треугольники AMB и AMC равны по двум углам и одной стороне (по углам AMB = AMC и BM = MC). Это означает, что AB = AC.

6. Заключение: Мы пришли к выводу, что стороны AB и AC равны, что и доказывает, что треугольник ABC является равнобедренным.

Таким образом, если медиана треугольника является его высотой, то треугольник обязательно является равнобедренным.