космические ракета летит на Луну. расстояние между центрами Луны и Земли равно 60 земным радиусом, а масса луны 81 раз меньше массы земли. В какой точке прямой, соединяющей их…

Для решения этой задачи нам нужно использовать закон всемирного тяготения и баланс сил притяжения между Землей и Луной.

Дано:

• Расстояние между центрами Земли и Луны \( R = 60 R_e \), где \( R_e \) — радиус Земли.
• Масса Луны \( M_l = \frac{M_e}{81} \), где \( M_e \) — масса Земли.

Силы притяжения от Земли и Луны на ракету \( F_e \) и \( F_l \) можно выразить через закон всемирного тяготения:

\[ F_e = \frac{G M_e m}{d^2} \]

\[ F_l = \frac{G M_l m}{(R - d)^2} \]

где:

• \( G \) — гравитационная постоянная,
• \( m \) — масса ракеты,
• \( d \) — расстояние от Земли до ракеты,
• \( R \) — полное расстояние между центрами Земли и Луны.

Для равенства сил \( F_e = F_l \):

\[ \frac{G M_e m}{d^2} = \frac{G M_l m}{(R - d)^2} \]

Масса ракеты \( m \) и \( G \) сокращаются:

\[ \frac{M_e}{d^2} = \frac{M_l}{(R - d)^2} \]

Подставим массу Луны:

\[ \frac{M_e}{d^2} = \frac{M_e / 81}{(R - d)^2} \]

Упростим:

\[ \frac{1}{d^2} = \frac{1 / 81}{(R - d)^2} \]

Перепишем уравнение:

\[ 81(R - d)^2 = d^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 81(R^2 - 2Rd + d^2) = d^2 \]

Соберем все в одну сторону:

\[ 81R^2 - 162Rd + 81d^2 - d^2 = 0 \]

Упрощая, получаем:

\[ 80d^2 - 162Rd + 81R^2 = 0 \]

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ d = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 80 \), \( b = -162R \), \( c = 81R^2 \).

Сначала найдем \( b^2 - 4ac \):

\[ (-162R)^2 - 4 \cdot 80 \cdot 81R^2 = 26244R^2 - 25920R^2 = 324R^2 \]

Теперь можно найти \( d \):

\[ d = \frac{162R \pm 18R}{160} \]

Решение будет:

1. \( d_1 = \frac{180R}{160} = \frac{9R}{8} \)
2. \( d_2 = \frac{144R}{160} = \frac{9R}{10} \)

Так как \( d \) должно быть меньше \( R \), выбираем \( d = \frac{9R}{10} \).

Следовательно, в ответе нужно указать \( \frac{9R}{10R_e} \):

Ответ: 9