Решить задачи номер 414 и 425

Привет! Давай разберём задачи 414 и 425.

Задача 414:

Дана задача на нахождение предела:

414. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{n^2}\)

Решение:

1. Сумму в числителе можно преобразовать по формуле суммы арифметической прогрессии: \(\frac{n(n+1)}{2}\).
2. Подставим в предел: \(\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2}\).
3. Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\): \(\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}\).
4. Так как \( \frac{1}{n} \to 0\) при \(n \to \infty\), предел равен \(\frac{1}{2}\).

Задача 425:

Дана задача на нахождение предела функции:

425. \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{2x+1} + \frac{1}{2x+3} + ... + \frac{1}{4x-1}\right)\)

Решение:

1. Заметим, что количество слагаемых равно \(2x\).
2. Каждый элемент выражения имеет вид \(\frac{1}{2x+k}\).
3. В случае с определением интеграла сумма Riemann-определения может быть заменена интегралом.
4. При увеличении \(x\), данные суммы приближаются к значению интеграла: \(\int_0^1 \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \ln(2)\).

Если нужны ещё пояснения, дай знать!