Катеты прямоугольного треугольника как 3:4, а его площадь 96. Найдите меньший катет

В прямоугольном треугольнике, где катеты относятся как 3:4, можно обозначить меньший катет как \(3x\), а больший катет как \(4x\). Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \]

где \(a\) и \(b\) — это катеты. В данном случае площадь равна 96, поэтому мы можем записать:

\[ 96 = \frac{1}{2} \cdot 3x \cdot 4x. \]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[ 96 = 6x^2. \]

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 192 = 6x^2. \]

Теперь разделим обе стороны на 6:

\[ x^2 = 32. \]

Чтобы найти \(x\), возьмём квадратный корень:

\[ x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. \]

Теперь найдем меньший катет:

\[ 3x = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}. \]

Таким образом, меньший катет равен \(12\sqrt{2}\).