Доказать что значение выражения 3y (x - 3y) + x (3y - x) при любых x и y не является положительным числом

Чтобы доказать, что выражение \( 3y (x - 3y) + x (3y - x) \) при любых \( x \) и \( y \) не является положительным числом, начнём с его упрощения.

Раскроем скобки в выражении:

\[ 3y (x - 3y) + x (3y - x) = 3xy - 9y^2 + 3xy - x^2 \]

Теперь объединим похожие члени:

\[ = 6xy - 9y^2 - x^2 \]

Следующим шагом можно написать это выражение в виде:

\[ = -x^2 + 6xy - 9y^2 \]

Теперь рассмотрим это выражение как квадратный трёхчленный полином относительно \( x \):

\[ = -(x^2 - 6xy + 9y^2) \]

Далее, упростим выражение внутри скобок. Мы можем заметить, что \( x^2 - 6xy + 9y^2 \) является полным квадратом:

\[ x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2 \]

Таким образом, мы можем переписать исходное выражение:

\[ = - (x - 3y)^2 \]

Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть \( (x - 3y)^2 \geq 0 \)), то значит:

\[ -(x - 3y)^2 \leq 0 \]

Это значит, что значение выражения \( 3y (x - 3y) + x (3y - x) \) всегда будет меньше или равно нулю для любых \( x \) и \( y \).

В заключение, оно не может быть положительным числом.