Lim (x → 8) (√(9 + 2x) - 5) / (√x - 2)

Чтобы найти предел lim (x → 8) (√(9 + 2x) - 5) / (√x - 2), мы можем сначала подставить x = 8 в выражение.

Подставляем:

√(9 + 2*8) - 5 = √(9 + 16) - 5 = √25 - 5 = 5 - 5 = 0.

Теперь подставим x = 8 в знаменатель:

√8 - 2 = √(4*2) - 2 = 2√2 - 2.

На данный момент мы имеем форму 0/0, что говорит о том, что нужно использовать правило Лопиталя, чтобы облегчить расчет предела. Это правило утверждает, что если предел имеет вид 0/0 или ∞/∞, то мы можем вычислить его, вычисляя производные числителя и знаменателя.

Сначала найдем производную числителя:

f(x) = √(9 + 2x) - 5.

Производная f'(x) = 1/(2√(9 + 2x)) * 2 = 1/√(9 + 2x).

Теперь найдем производную знаменателя:

g(x) = √x - 2.

g'(x) = 1/(2√x).

Теперь мы можем применить правило Лопиталя:

lim (x → 8) (f'(x) / g'(x)) = lim (x → 8) [1/√(9 + 2x)] / [1/(2√x)].

Теперь подставим x = 8:

= [1/√(9 + 16)] / [1/(2√8)] = [1/√25] / [1/(2√8)] = 1/5 / [1/(22√2)] = 1/5 * (22√2) = (2*2) / (5√2) = 4/(5√2).

Таким образом, предел равен 4/(5√2).