Сумма первых девятнадцати членов арифметической прогрессии, состоящей из различных нечетных натуральных чисел, равна 627. Найдите одиннадцатый член этой прогрессии.

Чтобы найти одиннадцатый член арифметической прогрессии (АП), давайте начнем с определения формулы суммы членов АП. Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( n \) — количество членов,
• \( a_1 \) — первый член прогрессии,
• \( a_n \) — последний член прогрессии.

В данной задаче количество членов \( n = 19 \), и сумма равна 627. Подставим известные значения в формулу:

\[ 627 = \frac{19}{2} \cdot (a_1 + a_{19}) \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 1254 = 19 \cdot (a_1 + a_{19}) \]

Теперь разделим обе стороны на 19:

\[ a_1 + a_{19} = \frac{1254}{19} = 66 \]

Значит, сумма первого и последнего членов равна 66. Мы можем описать \( a_n \) (19-й член) как:

\[ a_{19} = a_1 + (19 - 1)d = a_1 + 18d \]

где \( d \) — разность прогрессии. Подставим это выражение в уравнение:

\[ a_1 + (a_1 + 18d) = 66 \]

Это можно упростить до:

\[ 2a_1 + 18d = 66 \]

Теперь разделим всё на 2:

\[ a_1 + 9d = 33 \quad \text{(1)} \]

Теперь мы знаем, что \( a_1 \) и \( d \) должны быть выбраны так, чтобы все члены прогрессии были различными нечетными натуральными числами. Поскольку первый член — нечетное число, давайте выразим его через \( d \):

Пусть \( a_1 = 33 - 9d \). Поскольку \( a_1 \) должно быть нечетным натуральным числом, \( d \) также должно быть нечетным (поскольку разность между двумя нечетными числами — четное, и сумма четного и нечетного - нечетное).

Теперь проверим, при каких значениях \( d \) можем получить 19 нечетных членов:

Для \( d = 1 \):

• \( a_1 = 33 - 9 \cdot 1 = 24 \) (не подходит, т.к. четное)

Для \( d = 3 \):

• \( a_1 = 33 - 9 \cdot 3 = 6 \) (не подходит, т.к. четное)

Для \( d = 5 \):

• \( a_1 = 33 - 9 \cdot 5 = -6 \) (не подходит)

Для \( d = 2k + 1 \) (где \( k \) — натуральное число):

• Проверим \( k = 1 \), тогда \( d = 3 \)

Теперь запишем:

1. \( a_1 = 33 - 9 \cdot 3 = 6 \) (нечетное)
2. Пробуем \( d = 5 \): \( a_1 = 33 - 9 \cdot 5 = -6 \) (нечетное)

Определим, что при \( d = 3 \):

• \( a_1 = 15 \),
• а 11-й член \( a_{11} = 15 + 10 \cdot 3 = 15 + 30 = 45 \).

Таким образом, 11-й член арифметической прогрессии равен \( 45 \).