исследовать функцию и построить график: y= 2/5×x⁵-1/2×x³

Чтобы исследовать функцию \( y = \frac{2}{5} x^5 - \frac{1}{2} x^3 \), начнем с определения ее основных свойств, включая нули функции, производную, экстремумы и поведение на бесконечности.

1. Нули функции: Чтобы найти нули функции, приравняем ее к нулю: \[ \frac{2}{5} x^5 - \frac{1}{2} x^3 = 0 \] Вынесем общий множитель \( x^3 \): \[ x^3 \left( \frac{2}{5} x^2 - \frac{1}{2} \right) = 0 \] Нули функции:

   • \( x^3 = 0 \) дает \( x = 0 \).
   • Решим \( \frac{2}{5} x^2 - \frac{1}{2} = 0 \): \[ \frac{2}{5} x^2 = \frac{1}{2} \implies x^2 = \frac{5}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}. \] Таким образом, нули функции: \( x = 0, \, x = \frac{\sqrt{5}}{2}, \, x = -\frac{\sqrt{5}}{2} \).

2. Производная функции: Далее найдем первую производную функции для определения критических точек: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{5} x^5 - \frac{1}{2} x^3 \right) = 2x^4 - \frac{3}{2} x^2. \] Приравняем производную к нулю: \[ 2x^4 - \frac{3}{2} x^2 = 0. \] Вынесем общий множитель \( x^2 \): \[ x^2 \left( 2x^2 - \frac{3}{2} \right) = 0. \] Нули производной:

   • \( x^2 = 0 \) дает \( x = 0 \).
   • Решим \( 2x^2 - \frac{3}{2} = 0 \): \[ 2x^2 = \frac{3}{2} \implies x^2 = \frac{3}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Критические точки: \( x = 0, \, x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

3. Анализ второй производной: Найдем вторую производную для определения выпуклости: \[ y'' = \frac{d}{dx}(2x^4 - \frac{3}{2} x^2) = 8x^3 - 3x. \] Приравняем к нулю: \[ x(8x^2 - 3) = 0. \] Нули второй производной:

   • \( x = 0 \)
   • \( 8x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = \frac{3}{8} \implies x = \pm \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}. \] 4. **Поведение на бесконечности**: Когда \( x \to \infty \) или \( x \to -\infty \), старший член \( \frac{2}{5}x^5 \) определяет поведение функции, следовательно:
   • При \( x \to +\infty, \, y \to +\infty \)
   • При \( x \to -\infty, \, y \to -\infty \)

4. Построение графика: Теперь, используя информацию о нулях функции, критических точках и поведении на бесконечности, можно построить график функции. Убедитесь, что вы отметили критические точки и точки перегиба, а также нули функции.

График будет представлять собой плавную кривую, которая пересекает ось абсцисс в трех местах и изменяет свою выпуклость в критических точках.