2. Найдите интеграл, используя метод интегрирования по частям integrate (5x + 12) * sin(x/3) dx

Хорошо! Давайте решим данный интеграл, используя метод интегрирования по частям. Интеграл, который нам нужно вычислить, выглядит следующим образом:

\[ \int (5x + 12) \cdot \sin\left(\frac{x}{3}\right) \, dx \]

Для применения метода интегрирования по частям используют формулу:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Где:

• \(u\) — это функция, которую мы будем дифференцировать,
• \(dv\) — это функция, которую мы будем интегрировать.

Для нашего интеграла можно выбрать:

• \(u = 5x + 12\) (тогда \(du = 5 \, dx\))
• \(dv = \sin\left(\frac{x}{3}\right) \, dx\) (тогда \(v = -3\cos\left(\frac{x}{3}\right)\))

Теперь подставим в формулу интегрирования по частям:

\[ \int (5x + 12) \sin\left(\frac{x}{3}\right) \, dx = (5x + 12)(-3\cos\left(\frac{x}{3}\right)) - \int (-3\cos\left(\frac{x}{3}\right)) \cdot 5 \, dx \]

Упрощаем это:

\[ = -3(5x + 12)\cos\left(\frac{x}{3}\right) + 15 \int \cos\left(\frac{x}{3}\right) \, dx \]

Теперь вычислим интеграл \(\int \cos\left(\frac{x}{3}\right) \, dx\):

Для этого мы можем использовать замену переменной. Пусть \(t = \frac{x}{3}\), тогда \(dx = 3 \, dt\).

Тогда:

\[ \int \cos\left(\frac{x}{3}\right) \, dx = 3\int \cos(t) \, dt = 3 \sin(t) + C = 3 \sin\left(\frac{x}{3}\right) + C \]

Теперь подставляем обратно в наше уравнение:

\[ = -3(5x + 12)\cos\left(\frac{x}{3}\right) + 15(3\sin\left(\frac{x}{3}\right) + C) \]

Таким образом, окончательный ответ будет:

\[ \int (5x + 12) \sin\left(\frac{x}{3}\right) \, dx = -3(5x + 12)\cos\left(\frac{x}{3}\right) + 45 \sin\left(\frac{x}{3}\right) + C \]

Где \(C\) — произвольная константа интегрирования. Надеюсь, этот ответ был полезен! Если есть вопросы, задавайте!