Построить графики следующих функций, исследовать функции по плану: 1. Найти область определения функции; 2. Найти множество значений функции; 3. Определить нули функции; 4. Определить промежутки знакопостоянства функции; 5. Найти наибольшее и (или) наименьшее значение функции; 6. Определить промежутки возрастания и убывания функции; 7. Выяснить, является ли функция ограниченной? a) y = x ^ 2 + 2 б) y = 3 - 2x ^ 2 B) y = 1/2 * x ^ 2 - 4 г) y = - 1, 5x ^ 2 - 2

Давайте исследуем каждую из заданных функций по указанному плану. Я проведу анализ по всем пунктам.

a) \( y = x^2 + 2 \)

1. Область определения функции:
   Область определения всех действительных чисел \( \mathbb{R} \), т.к. квадрат любого числа существует.

2. Множество значений функции:
   Минимальное значение функции достигается при \( x = 0 \):
   \( y(0) = 0^2 + 2 = 2 \).
   Поскольку \( y \) стремится к бесконечности при увеличении \( |x| \), множество значений: \( [2, +\infty) \).

3. Нули функции:
   \( y = 0 \) => \( x^2 + 2 = 0 \) не имеет решений в действительных числах.
   Нулей нет.

4. Промежутки знакопостоянства функции:
   Функция всегда положительна, \( y > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).

5. Наибольшее и (или) наименьшее значение функции:
   Наименьшее значение: \( 2 \) при \( x = 0 \).
   Наибольшего значения нет.

6. Промежутки возрастания и убывания функции:
   Функция возрастает на интервале \( (0, +\infty) \) и убывает на \( (-\infty, 0) \).

7. Является ли функция ограниченной?
   Функция не является ограниченной сверху, так как \( y \) стремится к бесконечности.

б) \( y = 3 - 2x^2 \)

1. Область определения функции:
   Область определения: \( \mathbb{R} \).

2. Множество значений функции:
   Максимальное значение функции достигается при \( x = 0 \):
   \( y(0) = 3 - 2(0^2) = 3 \).
   При \( |x| \to \infty \) \( y \to -\infty \).
   Множество значений: \( (-\infty, 3] \).

3. Нули функции:
   \( 3 - 2x^2 = 0 \) => \( x^2 = \frac{3}{2} \) => \( x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} \).

4. Промежутки знакопостоянства функции:
   Функция положительна на \( (-\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}}) \) и отрицательна за пределами этого интервала.

5. Наибольшее и (или) наименьшее значение функции:
   Наибольшее значение: \( 3 \) при \( x = 0 \).
   Наименьшее значение - бесконечность при \( |x| \to \infty \).

6. Промежутки возрастания и убывания функции:
   Функция возрастает на \( (-\infty, 0) \) и убывает на \( (0, +\infty) \).

7. Является ли функция ограниченной?
   Функция не ограничена снизу.

в) \( y = \frac{1}{2}x^2 - 4 \)

1. Область определения функции:
   Область определения: \( \mathbb{R} \).

2. Множество значений функции:
   Минимальное значение достигается при \( x = 0 \):
   \( y(0) = \frac{1}{2}(0^2) - 4 = -4 \).
   Множество значений: \( [-4, +\infty) \).

3. Нули функции:
   \( \frac{1}{2}x^2 - 4 = 0 \) => \( x^2 = 8 \) => \( x = \pm 2\sqrt{2} \).

4. Промежутки знакопостоянства функции:
   Функция отрицательная на интервале \( (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \) и положительная за его пределами.

5. Наибольшее и (или) наименьшее значение функции:
   Наименьшее значение: \( -4 \) при \( x = 0 \).
   Наибольшего значения нет.

6. Промежутки возрастания и убывания функции:
   Убывает на \( (-\infty, 0) \) и возрастает на \( (0, +\infty) \).

7. Является ли функция ограниченной?
   Функция не ограничена сверху.

г) \( y = -1.5x^2 - 2 \)

1. Область определения функции:
   Область определения: \( \mathbb{R} \).

2. Множество значений функции:
   Максимальное значение достигается при \( x = 0 \):
   \( y(0) = -2 \).
   Множество значений: \( (-\infty, -2] \).

3. Нули функции:
   \( -1.5x^2 - 2 = 0 \) => \( x^2 = -\frac{2}{1.5} \) не имеет решений в действительных числах.
   Нулей нет.

4. Промежутки знакопостоянства функции:
   Функция всегда отрицательна для всех \( x \in \mathbb{R} \).

5. Наибольшее и (или) наименьшее значение функции:
   Наибольшее значение: \( -2 \) при \( x = 0 \).
   Наименьшего значения нет.

6. Промежутки возрастания и убывания функции:
   Функция убывает на всех \( x \in \mathbb{R} \).

7. Является ли функция ограниченной?
   Функция ограничена сверху, так как \( y \leq -2 \).

Большое спасибо за ваш вопрос! Если понадобится разъяснение по каким-либо из пунктов или по другим функциям, буду рад помочь!