20.3. Найдите корни уравнения: 1) cos 5x - sin 5x - sin 7x + cos 7x = 0 2) cos 10x * cos 6x - cos^2 (8x) = 0 3) sinxcos5x-sinxcos7x x = 0 4) sinxsin3x + sin4xsin8x = 0.

Конечно! Давайте поочередно решим каждое из указанных уравнений.

1) cos 5x - sin 5x - sin 7x + cos 7x = 0

Сначала упростим данное уравнение. Мы можем сгруппировать члены:

\[ (cos 5x + cos 7x) - (sin 5x + sin 7x) = 0 \]

Используем формулы суммы косинусов и синусов: \[ cos A + cos B = 2 cos\left(\frac{A+B}{2}\right) cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \] \[ sin A + sin B = 2 sin\left(\frac{A+B}{2}\right) cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

Применяя эти формулы, получим:

\[ 2 cos\left(\frac{5x + 7x}{2}\right) cos\left(\frac{5x - 7x}{2}\right) - 2 sin\left(\frac{5x + 7x}{2}\right) cos\left(\frac{5x - 7x}{2}\right) = 0 \]

Упрощаем:

\[ 2 cos(6x) cos(-x) - 2 sin(6x) cos(-x) = 0 \]

Так как cos(-x) не равен нулю (кроме специфичных случаев), можем сократить:

\[ cos(6x) - sin(6x) = 0 \]

Это уравнение имеет вид:

\[ \tan(6x) = 1 \]

Следовательно, \(6x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) - целое число. Это дает:

\[ x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{6} \]

2) cos 10x * cos 6x - cos^2(8x) = 0

Применим формулу произведения:

\[ \frac{1}{2} [cos(10x - 6x) + cos(10x + 6x)] - cos^2(8x) = 0 \]

Упрощая, получаем:

\[ \frac{1}{2} [cos(4x) + cos(16x)] - cos^2(8x) = 0 \]

Умножаем на 2:

\[ cos(4x) + cos(16x) = 2 cos^2(8x) \]

Используем \(cos^2(θ) = \frac{1 + cos(2θ)}{2}\):

\[ cos(4x) + cos(16x) = 1 + cos(16x) \]

Таким образом, \(cos(4x) = 1\), что означает:

\[ 4x = 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{k\pi}{2} \]

3) sinxcos5x - sinxcos7x = 0

Здесь можно вынести общий множитель - \(sinx\):

\[ sinx (cos5x - cos7x) = 0 \]

Это значит, что либо \(sinx = 0\), что дает \(x = k\pi\), или \(cos5x - cos7x = 0\). Используя аналогичную формулу, получаем:

\[ \frac{1}{2}[cos(5x + 7x) + cos(5x - 7x)] = 0 \]

Следовательно, \(cos(6x) = 0\) или \(x = \frac{(2k + 1)\pi}{12}\).

4) sinxsin3x + sin4xsin8x = 0

Сначала можно использовать формулу произведения синусов:

\[ \frac{1}{2}\left[ cos(2x) - cos(4x) \right] + \frac{1}{2}\left[ cos(4x) - cos(12x) \right] = 0 \]

Упрощая, получаем:

\[ cos(2x) - cos(12x) = 0 \]

Это означает:

\[ cos(2x) = cos(12x) \]

Следовательно, \(2x = 2k\pi \pm 12x\), что приводит к \(x = \frac{k\pi}{5} \quad \text{или} \quad x = \frac{(2k+1)\pi}{14}\).

Таким образом, мы нашли корни для всех четырех уравнений. Если есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить какие-то моменты, обращайтесь!