Вариант 4 1. Отрезок МР расположен в плоскости а. Точка К не лежит в ней. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АМ и АР, параллельна плоскости а. 2. Дан треугольник EFT. Плоскость, параллельная прямой FT, пересекает сторону EF в точке D, а сторону ET -- в точке С. Вычислите длину отрезка CD, если FT = 24 дм, DE: EF= I : 3. 3. Точка М не лежит в плоскости квадрата ABCD. Как расположены прямая АС и прямая, проходящая через середины отрезков МА и МВ? Найдите угол между этими прямыми.

Давайте рассмотрим каждый из пунктов. **1. Доказательство, что прямая, проходящая через середины отрезков АМ и АР, параллельна плоскости а.** Для начала, обозначим середины сегментов АМ и АР как точки S и T соответственно. По определению, если точка K не лежит в плоскости a, то отрезок, соединяющий любые две точки, находящиеся в плоскости, будет параллелен этой плоскости. Так как S и T являются серединами отрезков, соединяющих точки на плоскости (точки A, M и A, R), то линия ST будет параллельна плоскости a, так как отрезок ST находится в той же плоскости, что и A. Таким образом, прямая, проходящая через точки S и T (середины отрезков АМ и АР) будет параллельна плоскости a. **2. Вычисление длины отрезка CD.** Дано, что плоскость, параллельная прямой FT, пересекает сторону EF в точке D, а сторону ET — в точке C. По условию, FT = 24 дм и DE: EF = 1:3. Это означает, что DE составляет 1 часть, а EF состоит из 3 частей, или, в общем, EF = DE * 3. Предположим, что DE = x. Тогда EF = 3x. Сначала, найдем D: - Если EF = 3x и DE = 1x, то точка D делит отрезок EF в отношении 1:2. - Теперь найдем CD. Она будет в том же отношении, поскольку CD и EF перепараллельны. Таким образом, CD = 1/3 * FT = (1/3) * 24 = 8 дм. **3. Угол между прямой АС и прямой, проходящей через середины отрезков МА и МВ.** Обозначим середины отрезков МА и МВ как N и P. Прямая AC соединяет угол A и C, а прямая NP соединяет середины отрезков. Так как точка M вне плоскости квадрата ABCD, прямая NP будет находиться в пространстве, а прямая AC будет проходить через плоскость квадрата. Поскольку эти две прямые расположены в разных плоскостях, угол между ними будет равен углу наклона прямой NP относительно плоскости ABCD. Этот угол можно найти с использованием векторов, но, скорее всего, потребуется дополнительная информация о координатах точки M или состава углов квадратов. Если углы прямой NP относительно плоскости известны, то можно будет вычислить. В общем случае, угол будет зависеть от пространственного расположения этих прямых. Если у вас есть конкретные данные о координатах, я смогу помочь вам рассчитать угол более точно!