Вычислить проекция вектора а = (0, -5, 8) на ось , определяемую вектором b = (-3,-5,7). npba

Для того чтобы вычислить проекцию вектора \( \mathbf{a} = (0, -5, 8) \) на вектор \( \mathbf{b} = (-3, -5, 7) \), мы можем использовать формулу проекции вектора. Проекция вектора \( \mathbf{a} \) на вектор \( \mathbf{b} \) вычисляется по формуле:

\[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \mathbf{b} \]

где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), а \( \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение вектора \( \mathbf{b} \) на самого себя.

1. Сначала найдем скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (0 \cdot -3) + (-5 \cdot -5) + (8 \cdot 7) = 0 + 25 + 56 = 81 \]

2. Теперь вычислим \( \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = (-3)^2 + (-5)^2 + 7^2 = 9 + 25 + 49 = 83 \]

3. Теперь подставим эти значения в формулу проекции:

\[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{81}{83} \mathbf{b} = \frac{81}{83} (-3, -5, 7) \]

4. Выполним умножение:

\[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{81 \cdot -3}{83}, \frac{81 \cdot -5}{83}, \frac{81 \cdot 7}{83} \right) = \left( -\frac{243}{83}, -\frac{405}{83}, \frac{567}{83} \right) \]

Таким образом, проекция вектора \( \mathbf{a} \) на вектор \( \mathbf{b} \) равна \( \left(-\frac{243}{83}, -\frac{405}{83}, \frac{567}{83}\right) \).