Упростить: 1 + (sin^4 alpha + sin^2 alpha * cos^2 alpha)/(cos^2 alpha)

Давайте упростим выражение:

\[ 1 + \frac{\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]

Сначала упростим дробь:

1. Разделим каждую часть в числителе на \(\cos^2 \alpha\): \[ \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \sin^2 \alpha \] Таким образом, выражение станет: \[ 1 + \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \sin^2 \alpha \]

Теперь объединим \(\sin^2 \alpha\) с 1: \[ = 1 + \sin^2 \alpha + \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \] Заменим \(1\) на \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\): \[ = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \] Теперь объединим всё под общим знаменателем \(\cos^2 \alpha\): \[ = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]

Складываем \(\cos^2 \alpha\) и \(\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha\): \[ = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \] Используя тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[ = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] Таким образом, окончательный результат будет: \[ \sec^2 \alpha \]

Итак, у вас получилось упростить данное выражение до \(\sec^2 \alpha\). Если вам нужны дополнительные пояснения или примеры, я с удовольствием помогу!