Упростить: 1 + cot(pi + alpha) * tan((3pi)/2 - alpha)

Чтобы упростить выражение \( 1 + \cot(\pi + \alpha) \cdot \tan\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \), давайте рассмотрим каждую функцию.

1. Упрощение \( \cot(\pi + \alpha) \): Мы знаем, что \(\cot(x)\) – это \(\frac{1}{\tan(x)}\). Также, используя формулу для котангенса: \[ \cot(\pi + \alpha) = -\cot(\alpha) \] Это происходит из свойства периодичности и определения функции.

2. Упрощение \( \tan\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \): Это также можно переписать с использованием свойств тангенса: \[ \tan\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cot(\alpha) \]

Теперь подставим эти упрощения в исходное выражение: \[ 1 + \cot(\pi + \alpha) \cdot \tan\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = 1 + (-\cot(\alpha)) \cdot (-\cot(\alpha)) \] Сокращаем: \[ = 1 + \cot^2(\alpha) \]

Согласно тригонометрической тождеству, \(\cot^2(\alpha) + 1 = \csc^2(\alpha)\).

Таким образом, окончательное упрощение будет: \[ \csc^2(\alpha) \]

Ответ: \(\csc^2(\alpha)\)