Решите систему методом подстановки 2x2-y2=14 3x+2y=5
Чтобы решить систему уравнений методом подстановки, начнем с записи самой системы:
- \( 2x^2 - y^2 = 14 \)
- \( 3x + 2y = 5 \)
Сначала выразим \( y \) из второго уравнения:
\[ 3x + 2y = 5 \]
Переносим \( 3x \) на правую сторону:
\[ 2y = 5 - 3x \]
Теперь делим обе стороны на 2:
\[ y = \frac{5 - 3x}{2} \]
Теперь подставим это значение \( y \) в первое уравнение:
\[ 2x^2 - \left(\frac{5 - 3x}{2}\right)^2 = 14 \]
Распишем квадрат:
\[ \left(\frac{5 - 3x}{2}\right)^2 = \frac{(5 - 3x)^2}{4} = \frac{25 - 30x + 9x^2}{4} \]
Подставляем это в первое уравнение:
\[ 2x^2 - \frac{25 - 30x + 9x^2}{4} = 14 \]
Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
\[ 8x^2 - (25 - 30x + 9x^2) = 56 \]
Раскрываем скобки:
\[ 8x^2 - 25 + 30x - 9x^2 = 56 \]
Соберем все подобные члены:
\[ -x^2 + 30x - 25 - 56 = 0 \]
Упрощаем:
\[ -x^2 + 30x - 81 = 0 \]
Умножим уравнение на -1 для упрощения:
\[ x^2 - 30x + 81 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -30 \), \( c = 81 \):
\[ D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 900 - 324 = 576 \]
Найдём корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{30 \pm 24}{2} \]
Сейчас найдем два значения для \( x \):
- \( x_1 = \frac{30 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27 \)
- \( x_2 = \frac{30 - 24}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
Теперь подставим эти значения обратно, чтобы найти \( y \):
Для \( x_1 = 27 \):
\[ y = \frac{5 - 3 \cdot 27}{2} = \frac{5 - 81}{2} = \frac{-76}{2} = -38 \]
Для \( x_2 = 3 \):
\[ y = \frac{5 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
Таким образом, получили две пары решений для системы:
- \( (27, -38) \)
- \( (3, -2) \)
Эти значения и являются решениями системы уравнений.
