Приведите полное решение всех задач ! Задание 1 (18 баллов). Учитель составляет контрольную работу, содержащую 5 задач, выбирая задачи случайным образом из сборника задач. Первая…
Приведите полное решение всех задач ! Задание 1 (18 баллов). Учитель составляет контрольную работу, содержащую 5 задач, выбирая задачи случайным образом из сборника задач. Первая задача выбирается из главы I, вторая — из главы II и так далее. Сколько вариантов контрольной работы можно составить, если главы I и III содержат по 13 различных примеров задач, а остальные главы — по 10 примеров задач? Задание 2 (18 баллов). Для детского утренника требуется рассадить детей на стулья, стоящие вдоль стены. Количество стульев равно количеству детей. Всего в группе 5 мальчиков и 5 девочек, причём мальчики садятся на места с чётными номерами, а девочки — на места с нечётными номерами. Сколькими способами это можно сделать? Задание 3 (18 баллов). В выпускном альбоме с фотографиями будет 12 страниц. На страницах альбома требуется поместить четыре общие фотографии класса, причём на странице не может быть более одной общей фотографии. Сколькими способами можно расположить в альбоме общие фотографии? Задание 4 (20 баллов). В кармане рюкзака у Маши было 3 шоколадные конфеты и 4 желейные конфеты. Сколькими способами Маша может выбрать 2 шоколадные и 3 желейные конфеты? Задание 5 (26 баллов). Сколько разных буквосочетаний можно составить из всех букв слова «параллелограмм»?
Задание 1
Учитель составляет контрольную работу, которая состоит из 5 задач, выбирая их из 4 глав. Известно, что:
- Глава I: 13 задач
- Глава II: 10 задач
- Глава III: 13 задач
- Глава IV: 10 задач
Контрольная работа состоит из одной задачи из каждой главы. Таким образом, число способов выбрать задачи из каждой главы:
- Для главы I: 13 выборов
- Для главы II: 10 выборов
- Для главы III: 13 выборов
- Для главы IV: 10 выборов
Общее количество вариантов контрольной работы: \[ 13 \times 10 \times 13 \times 10 = 16900 \]
Ответ: 16900 вариантов.
Задание 2
У нас есть 5 мальчиков и 5 девочек, которые должны сидеть на стульях по следующим правилам:
- Мальчики на чётных номерах (2, 4, 6, 8, 10).
- Девочки на нечётных номерах (1, 3, 5, 7, 9).
Количество способов рассадить мальчиков на 5 чётных местах: \[ 5! = 120 \]
Количество способов рассадить девочек на 5 нечётных местах: \[ 5! = 120 \]
Общее количество способов рассадки: \[ 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400 \]
Ответ: 14400 способов.
Задание 3
В альбоме на 12 страницах мы хотим поместить 4 фотографии, причем на каждую страницу можно поместить только одну фотографию.
Количество способов выбрать 4 страницы из 12 для размещения фотографий: \[ \binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \]
Количество способов расположить 4 фотографии на 4 выбранных страницах: \[ 4! = 24 \]
Общее количество способов размещения фотографий: \[ \binom{12}{4} \times 4! = 495 \times 24 = 11880 \]
Ответ: 11880 способов.
Задание 4
Маша имеет 3 шоколадные и 4 желейные конфеты и хочет выбрать:
- 2 шоколадные из 3
- 3 желейные из 4
Количество способов выбрать 2 шоколадные конфеты: \[ \binom{3}{2} = 3 \]
Количество способов выбрать 3 желейные конфеты: \[ \binom{4}{3} = 4 \]
Общее количество способов выбора: \[ \binom{3}{2} \times \binom{4}{3} = 3 \times 4 = 12 \]
Ответ: 12 способов.
Задание 5
В слове «параллелограмм» 15 букв, из них:
- «п» – 1
- «а» – 3
- «р» – 2
- «л» – 3
- «е» – 1
- «о» – 1
- «г» – 1
- «м» – 1
Формула для вычисления количества различных перестановок букв: \[ \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3! \cdots} \] где \( n \) – общее количество букв, \( n_1, n_2, n_3 \) – количество одинаковых букв.
Подставляем числа: \[ n = 15, \quad n_a = 3, \quad n_r = 2, \quad n_l = 3 \] Количество различных перестановок: \[ \frac{15!}{3! \cdot 2! \cdot 3!} = \frac{1307674368000}{6 \cdot 2 \cdot 6} = \frac{1307674368000}{72} = 18117112000 \]
Ответ: 18117112000 различных буквосочетаний.
