Дан треугольник с вершинами A(-8;7) B(4;5) C(-3;2). Найти координаты центра вписанной окружности
Для нахождения координат центра вписанной окружности треугольника, нужно использовать формулу, основанную на координатах вершин треугольника и его сторонах.
Вершины треугольника: A(-8; 7), B(4; 5), C(-3; 2).
Находим длины сторон треугольника:
Длина стороны a (BC): \[ a = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(4 + 3)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \]
Длина стороны b (AC): \[ b = \sqrt{(-8 - (-3))^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{(-8 + 3)^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \]
Длина стороны c (AB): \[ c = \sqrt{(4 - (-8))^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{(4 + 8)^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{12^2 + (-2)^2} = \sqrt{144 + 4} = \sqrt{148} \]
Находим координаты центра вписанной окружности: Координаты центра вписанной окружности (I) находятся по формуле: \[ I_x = \frac{a \cdot x_A + b \cdot x_B + c \cdot x_C}{a + b + c} \] \[ I_y = \frac{a \cdot y_A + b \cdot y_B + c \cdot y_C}{a + b + c} \]
Где \( (x_A, y_A) \), \( (x_B, y_B) \) и \( (x_C, y_C) \) – это координаты вершин треугольника.
- Подставляем значения:
- \( a = \sqrt{58} \), \( b = \sqrt{50} \), \( c = \sqrt{148} \)
Подставим значения координат:
- \( x_A = -8, y_A = 7 \)
- \( x_B = 4, y_B = 5 \)
- \( x_C = -3, y_C = 2 \)
Теперь подставляем в формулы: \[ I_x = \frac{\sqrt{58} \cdot (-8) + \sqrt{50} \cdot 4 + \sqrt{148} \cdot (-3)}{\sqrt{58} + \sqrt{50} + \sqrt{148}} \]
\[ I_y = \frac{\sqrt{58} \cdot 7 + \sqrt{50} \cdot 5 + \sqrt{148} \cdot 2}{\sqrt{58} + \sqrt{50} + \sqrt{148}} \]
- Вычисляем числители:
Для \( I_x \): \[ I_x = \frac{-8\sqrt{58} + 4\sqrt{50} - 3\sqrt{148}}{\sqrt{58} + \sqrt{50} + \sqrt{148}} \]
Для \( I_y \): \[ I_y = \frac{7\sqrt{58} + 5\sqrt{50} + 2\sqrt{148}}{\sqrt{58} + \sqrt{50} + \sqrt{148}} \]
Таким образом, координаты центра вписанной окружности можно выразить через данные выше значения. После вычислений, вы получите конкретные числовые значения для \( I_x \) и \( I_y \).
