Найдите угол b треугольника abc зная его вершины a(1;2) b(1;3) c(-2;4)

Чтобы найти угол \( b \) треугольника \( ABC \) с вершинами \( A(1, 2) \), \( B(1, 3) \) и \( C(-2, 4) \), нам нужно использовать векторы и формулу косинуса.

Сначала вычислим векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \):

1. Вектор \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 1, 3 - 2) = (0, 1) \]

2. Вектор \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-2 - 1, 4 - 3) = (-3, 1) \]

Теперь найдем длины этих векторов:

• Длина \( \overrightarrow{AB} \): \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \]

• Длина \( \overrightarrow{BC} \): \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

Теперь найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (0)(-3) + (1)(1) = 0 + 1 = 1 \]

Теперь можем найти косинус угла \( b \) с помощью формулы косинуса: \[ \cos b = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \]

Теперь найдем угол \( b \): \[ b = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \]

Вычислим значение: \[ b \approx \arccos(0.316) \approx 72.34^\circ \]

Таким образом, угол \( b \) треугольника \( ABC \) приблизительно равен \( 72.34^\circ \).