постройте график функции игрек равно икс-квадрат. 4 икс + 7. и определите, при каких значениях м-прямая игрек равно м имеется с графиком равно 3 общие точки.
Чтобы построить график функции \( y = x^2 + 4x + 7 \), начнем с определения ее формы. Это квадратная функция, которая может быть представлена в виде:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
где \( a = 1 \), \( b = 4 \), и \( c = 7 \).
Шаг 1: Найдем вершину параболы
Вершина параболы находится по формуле: \[ x_{в} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \]
Теперь подставим \( x_{в} \) в уравнение функции, чтобы найти значение \( y \) в этой точке: \[ y_{в} = (-2)^2 + 4(-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \((-2, 3)\).
Шаг 2: Определим дискриминант
Чтобы определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет три общие точки с графиком функции, необходимо решить уравнение: \[ x^2 + 4x + (7 - m) = 0 \]
Для этого вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 - m) = 16 - 4(7 - m) = 16 - 28 + 4m = 4m - 12 \]
Шаг 3: Условия для трех решений
Для того чтобы прямая \( y = m \) пересекала график функции в трех точках, дискриминант \( D \) должен быть равен нулю (одна касательная) и меньше нуля (две точки на одном из концов). Это возможно, если:
Одно решение, когда \( D = 0 \): \[ 4m - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 3 \]
Два решения, если \( D < 0 \): \[ 4m - 12 < 0 \quad \Rightarrow \quad m < 3 \]
Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь три общие точки с графиком параболы, когда \( m < 3 \).
Вывод
График функции \( y = x^2 + 4x + 7 \) – это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \((-2, 3)\). Прямая \( y = m \) будет иметь три общие точки с графиком, если \( m < 3 \).
