Среднее арифметическое из двух чисел равно 17, а разность их квадратов равна 8. Найдите сумму квадратов этих чисел.

Обозначим два числа как \( x \) и \( y \).

Из условия, что среднее арифметическое двух чисел равно 17, мы получаем: \[ \frac{x + y}{2} = 17 \implies x + y = 34. \]

Из условия, что разность их квадратов равна 8, мы знаем: \[ x^2 - y^2 = 8. \]

Разность квадратов можно разложить на множители: \[ (x - y)(x + y) = 8. \]

Мы уже знаем, что \( x + y = 34 \). Подставим это значение в уравнение: \[ (x - y)(34) = 8 \implies x - y = \frac{8}{34} = \frac{4}{17}. \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( x + y = 34 \)
2. \( x - y = \frac{4}{17} \)

Решим эту систему уравнений. Сложим оба уравнения: \[ (x + y) + (x - y) = 34 + \frac{4}{17}. \] Это приведет к: \[ 2x = 34 + \frac{4}{17} = \frac{578}{17} + \frac{4}{17} = \frac{582}{17} \implies x = \frac{291}{17}. \]

Теперь подставим значение \( x \) в одно из уравнений, например, в \( x + y = 34 \): \[ \frac{291}{17} + y = 34 \implies y = 34 - \frac{291}{17} = \frac{578}{17} - \frac{291}{17} = \frac{287}{17}. \]

Теперь у нас есть значения \( x \) и \( y \): \[ x = \frac{291}{17}, \quad y = \frac{287}{17}. \]

Посчитаем сумму квадратов этих чисел: \[ x^2 + y^2 = \left(\frac{291}{17}\right)^2 + \left(\frac{287}{17}\right)^2. \]

Сначала найдем квадраты: \[ \left(\frac{291}{17}\right)^2 = \frac{291^2}{289} = \frac{84681}{289}, \quad \left(\frac{287}{17}\right)^2 = \frac{287^2}{289} = \frac{82369}{289}. \]

Теперь сложим их: \[ x^2 + y^2 = \frac{84681 + 82369}{289} = \frac{167050}{289}. \]

Окончательный ответ на задачу: \[ x^2 + y^2 = \frac{167050}{289}. \]