В университете студентам первого курса предлагают на выбор  16 дополнительных курсов. Сколькими способами студент-первокурсник может выбрать  6 из них?

Для решения задачи о том, сколькими способами студент может выбрать 6 дополнительных курсов из 16, нужно воспользоваться формулой сочетаний. Формула сочетаний для выбора \( k \) предметов из \( n \) выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где:

• \( n \) — общее количество предметов (в нашем случае 16),
• \( k \) — количество предметов, которые нужно выбрать (в нашем случае 6).

Подставим значения в формулу:

\[ C(16, 6) = \frac{16!}{6!(16-6)!} = \frac{16!}{6! \cdot 10!} \]

Теперь нам нужно упростить это выражение. Мы можем сократить факториалы:

\[ C(16, 6) = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \]

Теперь посчитаем числитель и знаменатель:

Числитель: \[ 16 \cdot 15 = 240 \] \[ 240 \cdot 14 = 3360 \] \[ 3360 \cdot 13 = 43680 \] \[ 43680 \cdot 12 = 524160 \] \[ 524160 \cdot 11 = 5765760 \]

Знаменатель: \[ 6 \cdot 5 = 30 \] \[ 30 \cdot 4 = 120 \] \[ 120 \cdot 3 = 360 \] \[ 360 \cdot 2 = 720 \] \[ 720 \cdot 1 = 720 \]

Теперь делим числитель на знаменатель: \[ C(16, 6) = \frac{5765760}{720} = 8008 \]

Таким образом, студент-первокурсник может выбрать 6 дополнительных курсов из 16 8008 способами.