Найдите объём правильной треугольной пирамиды , боковое ребро которой равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 60°
Чтобы найти объём правильной треугольной пирамиды, нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберемся, как рассчитать объем шаг за шагом.
Определение основания: Поскольку это правильная треугольная пирамида, основание является равносторонним треугольником. Давайте обозначим длину стороны основания как \(a\).
Определение высоты пирамиды: Боковое ребро (в данном случае это 8 см) образует угол \(60^\circ\) с плоскостью основания. Это означает, что мы можем использовать треугольник, образованный боковым ребром, высотой и половиной стороны основания для нахождения высоты.
Высота \(h\) пирамиды может быть найдена с использованием тригонометрии: \[ h = b \cdot \sin(60^\circ) \] Где \(b\) — это боковое ребро. Подставляем значение: \[ h = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{см} \]
Нахождение стороны основания: Мы можем найти длину стороны \(a\) основанием треугольника, используя косинус: \[ \cos(60^\circ) = \frac{h}{b} \Rightarrow a = 2 \cdot b \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 8 \, \text{см} \]
Площадь основания: Площадь \(S\) равностороннего треугольника можно вычислить с помощью формулы: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставляем \(a = 8\): \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \, \text{кв. см} \]
Объём пирамиды: Объём \(V\) правильной треугольной пирамиды определяется формулой: \[ V = \frac{1}{3} S h \] Подставляем найденные значения: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{192}{3} = 64 \, \text{куб. см} \]
Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды составляет 64 кубических сантиметра.
