Сократить дробь x(x-2^2) /3x^3-12x+12

Давайте сокращать дробь \(\frac{x(x-2^2)}{3x^3 - 12x + 12}\).

Во-первых, упростим числитель и знаменатель.

Числитель: \[ x(x - 2^2) = x(x - 4) \] Таким образом, числитель равен \(x(x - 4)\).

Теперь займемся знаменателем: \[ 3x^3 - 12x + 12 \] Для удобства можем выделить общий множитель: \[ 3(x^3 - 4x + 4) \] Теперь посмотрим, можем ли мы разложить многочлен \(x^3 - 4x + 4\) на множители. Пробуем найти корень этого многочлена с помощью подбора. Проверим \(x=2\): \[ 2^3 - 4 \cdot 2 + 4 = 8 - 8 + 4 = 4 \quad (\text{не является корнем}) \] Проверим \(x=1\): \[ 1^3 - 4 \cdot 1 + 4 = 1 - 4 + 4 = 1 \quad (\text{не является корнем}) \] Проверим \(x=-1\): \[ (-1)^3 - 4 \cdot (-1) + 4 = -1 + 4 + 4 = 7 \quad (\text{не является корнем}) \] Проверим \(x=4\): \[ 4^3 - 4 \cdot 4 + 4 = 64 - 16 + 4 = 52 \quad (\text{не является корнем}) \]

Если попытки найти корни не ведут к успеху, можно обходиться без явного разложения. В таком случае, давайте просто выразим дробь в текущем виде.

Теперь вернемся к нашей дроби: \[ \frac{x(x - 4)}{3(x^3 - 4x + 4)} \]

Далее оценим, есть ли общие множители между числителем и знаменателем. Сначала заметим, что в нашем числителе и знаменателе \(x\) может быть общим множителем, если мы его найдём.

Пробуем \(x=0\): Если \(x=0\), числитель будет 0, знаменатель тоже, так что здесь у нас есть неопределенность.

Но для \(x\neq 0\): Мы можем не сокращать, так как множитель \((x-4)\) в числителе и многочлен в знаменателе, если не находим реальные корни.

Таким образом, конечный вид дроби радует: \[ \frac{x(x - 4)}{3(x^3 - 4x + 4)} \]

Этот результат является наиболее упрощённой формой данной дроби. Если возникли дополнительные вопросы по данной теме, не стесняйтесь задавать!