в коробке лежит 8 шаров 5 чёрных и 3 белых шары вынимаются до тех пор, пока не попадётся белый, найти математическое ожидание.
Для решения данной задачи о математическом ожидании сначала определим, что нам нужно найти – это среднее количество шаров, которые будут извлечены до того, как мы вытянем белый шар.
Обозначим:
- \( p \) – вероятность того, что мы вытянем белый шар;
- \( q \) – вероятность того, что мы вытянем черный шар.
В данной задаче:
- Всего шаров: 8 (5 черных + 3 белых).
- \( p = \frac{3}{8} \) – вероятность вытянуть белый шар.
- \( q = \frac{5}{8} \) – вероятность вытянуть черный шар.
Теперь определим математическое ожидание \( E(X) \), где \( X \) – количество извлеченных шаров до первого белого шара. Мы можем использовать следующую формулу для вычисления ожидания:
\[ E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X = k) \]
Здесь \( P(X = k) \) – это вероятность того, что белый шар будет вытянут с \( k \)-го раза. Вероятность того, что будут вытянуты \( k-1 \) черных шара и затем белый шар:
\[ P(X = k) = q^{k-1} \cdot p \]
Теперь можем выразить математическое ожидание:
\[ E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot q^{k-1} \cdot p \]
Это выражение можно упростить, вынеся \( p \):
\[ E(X) = p \cdot \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot q^{k-1} \]
Сумму \( \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot q^{k-1} \) можно найти, используя золотую формулу для суммы геометрической прогрессии:
\[ \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \quad (|q| < 1) \]
Для производной мы получаем:
\[ \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot q^{k-1} = \frac{1}{(1-q)^2} \]
В нашем случае:
\[ E(X) = p \cdot \frac{1}{(1-q)^2} \]
Так как \( p = \frac{3}{8} \) и \( q = \frac{5}{8} \):
\[ E(X) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{(1 - \frac{5}{8})^2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{(\frac{3}{8})^2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{64}{9} = \frac{24}{8} = 3 \]
Итак, математическое ожидание количества шаров, которые нужно извлечь до первого белого шара, равно 3.
