(3x²-7x)/(2x+4x³) найти производную
Чтобы найти производную функции \( f(x) = \frac{3x^2 - 7x}{2x + 4x^3} \), мы воспользуемся правилом частного для нахождения производной дроби.
Правило частного гласит, что если у нас есть функция вида \( \frac{u}{v} \), где \( u \) и \( v \) — дифференцируемые функции, то производная этой функции равна:
\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
В нашем случае:
- \( u = 3x^2 - 7x \)
- \( v = 2x + 4x^3 \)
Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):
- \( u' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 7x) = 6x - 7 \)
- \( v' = \frac{d}{dx}(2x + 4x^3) = 2 + 12x^2 \)
Теперь подставим \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу:
\[ f'(x) = \frac{(6x - 7)(2x + 4x^3) - (3x^2 - 7x)(2 + 12x^2)}{(2x + 4x^3)^2} \]
Теперь упростим выражение в числителе.
Сначала раскроем скобки:
- \( (6x - 7)(2x + 4x^3) = 12x^2 + 24x^4 - 14x - 28x^3 \)
- \( (3x^2 - 7x)(2 + 12x^2) = 6x^2 + 36x^4 - 14x - 84x^3 \)
Теперь подставим это в числитель:
\[ f'(x) = \frac{(12x^2 + 24x^4 - 14x - 28x^3) - (6x^2 + 36x^4 - 14x - 84x^3)}{(2x + 4x^3)^2} \]
Собираем подобные:
\[ f'(x) = \frac{12x^2 + 24x^4 - 14x - 28x^3 - 6x^2 - 36x^4 + 14x + 84x^3}{(2x + 4x^3)^2} \]
Упрощая: \[ f'(x) = \frac{(12x^2 - 6x^2) + (24x^4 - 36x^4) + (-28x^3 + 84x^3)}{(2x + 4x^3)^2} \] \[ = \frac{6x^2 - 12x^4 + 56x^3}{(2x + 4x^3)^2} \]
Это и есть производная функции \( f(x) \). Надеюсь, этот процесс был понятен и полезен для вас! Если у вас есть еще вопросы или нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!
