(x+x) (5x-5) <0

Чтобы решить неравенство \((x+x)(5x-5) < 0\), начнем с упрощения его.

1. Упростим выражение: \[ (x+x) = 2x \] Таким образом, неравенство становится: \[ 2x(5x - 5) < 0 \]

2. Далее упрощаем скобки: \[ 5x - 5 = 5(x - 1) \] Подставляя это в неравенство, получаем: \[ 2x \cdot 5(x - 1) < 0 \] Упрощаем: \[ 10x(x - 1) < 0 \]

3. Теперь у нас есть произведение, которое меньше нуля. Для решения этого неравенства нужно найти корни:

   • Первое выражение равно нулю, когда \(x = 0\).
   • Второе выражение равно нулю, когда \(x - 1 = 0 \rightarrow x = 1\).

4. Теперь у нас есть критические точки \(x = 0\) и \(x = 1\). Разделим числовую прямую на интервалы по этим точкам:

   • Интервал \((-\infty, 0)\)
   • Интервал \((0, 1)\)
   • Интервал \((1, +\infty)\)

5. Теперь проверим знак произведения \(10x(x-1)\) на каждом из интервалов:

   • Для интервала \((-\infty, 0)\) выберем точку, например, \(x = -1\): \[ 10(-1)((-1) - 1) = 10(-1)(-2) > 0 \quad (\text{положительно}) \]
   • Для интервала \((0, 1)\) выберем точку, например, \(x = 0.5\): \[ 10(0.5)(0.5 - 1) = 10(0.5)(-0.5) < 0 \quad (\text{отрицательно}) \]
   • Для интервала \((1, +\infty)\) выберем точку, например, \(x = 2\): \[ 10(2)(2 - 1) = 10(2)(1) > 0 \quad (\text{положительно}) \]

6. Теперь можем объединить результаты:

   • \(10x(x - 1) < 0\) выполняется на интервале \((0, 1)\).

Таким образом, решение неравенства \((x+x)(5x-5) < 0\) — это интервал: \[ x \in (0, 1) \]