В первом вопросе нужно выбрать правильный вариант написания слова "И" в контексте предложений. Давайте рассмотрим каждое из них:
думать о вчерашн...м событии – правильный вариант: "вчерашнем". Здесь на место пропуска вставляется "ем", так как "вчерашний" – это прилагательное в предложном падеже, которое согласуется с "событием".
гордиться могуч...м богатырем – правильный вариант: "могучим". В данном случае "могучий" также в предложном падеже и из-за характеристики богатыря мне нужно использовать "им".
мечтать о хорош...м друге – правильный вариант: "хорошем". Так же, как и предыдущие два, это прилагательное необходимо в предложном падеже.
вспоминать о син...м море – правильный вариант: "синем". Слово "синий" также изменяется на "синем" в предложном падеже.
Таким образом, все слова написаны с "И" как "ем", "им", "ом", и "ем" соответственно, в зависимости от рода и падежа.
Теперь по поводу второго вопроса, касающегося предложения с относительным прилагательным:
Городок деревянный, ТИХИЙ, над домами трубы дымят. – "тихий" здесь не является относительным прилагательным, а качественным.
Ежи забирались передними лапами в СОБАЧЬЮ чашку и, тихо пофыркивая, спокойно ели. – "собачью" является относительным прилагательным, так как указывает на принадлежность.
В печке весело потрескивали ЛИСТВЕННИЧНЫЕ дрова. – "лиственничные" тоже качественное прилагательное, касающееся типа дров.
Итак, правильный ответ на второй вопрос: "Ежи забирались передними лапами в СОБАЧЬЮ чашку и, тихо пофыркивая, спокойно ели." – здесь "собачью" является относительным прилагательным.