Шестой член арифметической прогрессии составляет 60% третьего ее члена, а их сумма равна 48. Найдите значение суммы первых десяти членов этой прогрессии

Давайте решим эту задачу по шагам.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность прогрессии — как \( d \).

Согласно условиям задачи, шестой член прогрессии можно записать как: \[ a + 5d \]

Третий член прогрессии будет: \[ a + 2d \]

По условию, шестой член составляет 60% третьего: \[ a + 5d = 0.6 (a + 2d) \]

Разложим это уравнение: \[ a + 5d = 0.6a + 1.2d \]

Теперь соберем все члены с \( a \) и \( d \) по одной стороне: \[ a - 0.6a + 5d - 1.2d = 0 \] \[ 0.4a + 3.8d = 0 \]

Упростим это уравнение: \[ 4a + 38d = 0 \quad (1) \]

Также по условию задачи известно, что сумма третьего и шестого члена равна 48: \[ (a + 2d) + (a + 5d) = 48 \] Сложим члены: \[ 2a + 7d = 48 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( 4a + 38d = 0 \)
2. \( 2a + 7d = 48 \)

Сначала из уравнения (1) выразим \( a \): \[ 4a = -38d \Rightarrow a = -9.5d \quad (3) \]

Подставим \( a \) из (3) в (2): \[ 2(-9.5d) + 7d = 48 \] \[ -19d + 7d = 48 \] \[ -12d = 48 \Rightarrow d = -4 \]

Теперь подставим \( d \) в (3) для нахождения \( a \): \[ a = -9.5 \cdot (-4) = 38 \]

Теперь мы знаем первый член прогрессии \( a = 38 \) и разность \( d = -4 \).

Теперь мы можем найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии. Сумма первых \( n \) членов прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \] Подставим известные значения: \[ S_{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 38 + (10 - 1)(-4)) \] \[ = 5 (76 + 9 \cdot (-4)) \] \[ = 5 (76 - 36) \] \[ = 5 \cdot 40 = 200 \]

Таким образом, сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна \( 200 \).