На рисунке изображён прямоугольник  A B C D ABCD. Точки  K K,  L L,  M M,  N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику  L M N LMN.

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, сначала нужно определить площади прямоугольника и треугольника.

1. Площадь прямоугольника ABCD. Если стороны прямоугольника имеют длины a и b, то площадь S_прямоугольника будет равна:

   \[ S_{ABCD} = a \times b \]

2. Определение координат точек. Пусть координаты вершин прямоугольника ABCD:

   • A(0, 0)
   • B(a, 0)
   • C(a, b)
   • D(0, b)

   Тогда середины сторон:

   • K на AB: K(a/2, 0)
   • L на BC: L(a, b/2)
   • M на CD: M(a/2, b)
   • N на DA: N(0, b/2)

3. Площадь треугольника LMN. Точки L, M и N имеют следующие координаты:

   • L(a, b/2)
   • M(a/2, b)
   • N(0, b/2)

   Чтобы найти площадь треугольника, можно воспользоваться формулой:

   \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \]

   Подставляя координаты L, M и N:

   \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| a \left(\frac{b}{2} - b\right) + \frac{a}{2}(b - \frac{b}{2}) + 0 \left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| a \left(-\frac{b}{2}\right) + \frac{a}{2} \left(\frac{b}{2}\right) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -\frac{ab}{2} + \frac{ab}{4} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -\frac{ab}{4} \right| = \frac{ab}{8} \]

4. Вероятность. Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику LMN, вычисляется как отношение площади треугольника к площади прямоугольника:

   \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{8}}{ab} = \frac{1}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка будет принадлежать треугольнику LMN, составляет \(\frac{1}{8}\).