Нацти наибольшее и наиментшее значение функции у=sinx на отрезок {0;2π\3}

Функция \( y = \sin x \) на отрезке \( [0; \frac{2\pi}{3}] \) является периодической и непрерывной. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на заданном интервале, сначала нужно определить, как ведет себя синус в этом диапазоне.

1. Концы интервала: Подставим пределы интервала в функцию.

   • \( x = 0 \): \[ y = \sin 0 = 0 \]

   • \( x = \frac{2\pi}{3} \): \[ y = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Критические точки: Найдем производную функции и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки. \[ y' = \cos x \] Уравнение \( \cos x = 0 \) решается в пределах \( [0; \frac{2\pi}{3}] \): \[ x = \frac{\pi}{2} \quad (\text{это число находится в интервале}) \] Находим значение функции в этой точке: \[ y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \]

3. Сравнение значений:

   • На концах интервала: \( y(0) = 0 \) и \( y\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
   • В критической точке: \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \).

Таким образом, наибольшее значение функции \( y = \sin x \) на отрезке \( [0; \frac{2\pi}{3}] \) равно \( 1 \) и достигается в точке \( x = \frac{\pi}{2} \), а наименьшее значение равно \( 0 \) и достигается в точке \( x = 0 \).

Итог:

• Наибольшее значение: \( 1 \)
• Наименьшее значение: \( 0 \)