Найдите cos2 a и sin2 a если sin a = - 8/17 , π< a < (3π)/2

Давайте найдем значения \( \cos(2a) \) и \( \sin(2a) \), зная, что \( \sin(a) = -\frac{8}{17} \) и угол \( a \) находится в третьем квадрате (\( \pi < a < \frac{3\pi}{2} \)).

Сначала найдем \( \cos(a) \). Мы знаем, что в третьем квадрате косинус также будет отрицательным. Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1. \]

Подставим значение \( \sin(a) \):

\[ \left(-\frac{8}{17}\right)^2 + \cos^2(a) = 1. \]

Вычислим \( \sin^2(a) \):

\[ \frac{64}{289} + \cos^2(a) = 1. \]

Теперь решим уравнение для \( \cos^2(a) \):

\[ \cos^2(a) = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289}{289} - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}. \]

Теперь найдём \( \cos(a) \):

\[ \cos(a) = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}. \]

Теперь, когда мы знаем \( \sin(a) \) и \( \cos(a) \), можем перейти к вычислению \( \sin(2a) \) и \( \cos(2a) \) с помощью двойных углов:

\[ \sin(2a) = 2 \sin(a) \cos(a), \] \[ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a). \]

Подставим значения:

1. Для \( \sin(2a) \):

\[ \sin(2a) = 2 \left(-\frac{8}{17}\right) \left(-\frac{15}{17}\right) = 2 \cdot \frac{120}{289} = \frac{240}{289}. \]

2. Для \( \cos(2a) \):

\[ \cos(2a) = \left(-\frac{15}{17}\right)^2 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = \frac{225}{289} - \frac{64}{289} = \frac{161}{289}. \]

Таким образом, получаем результаты:

\[ \sin(2a) = \frac{240}{289}, \quad \cos(2a) = \frac{161}{289}. \]