Зная, что  cos ⁡ α = 4 5 9 cosα= 9 4 5 ​ ​  и  α α расположен в IV четверти, найди  sin ⁡ α sinα.

Для нахождения значения \(\sin \alpha\), зная \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) и то, что угол \(\alpha\) расположен в IV четверти, можно воспользоваться основным тригонометрическим равенством:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставим известное значение \(\cos \alpha\) в уравнение:

\[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \]

Вычислим \(\left(\frac{4}{5}\right)^2\):

\[ \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \]

Теперь вычтем \(\frac{16}{25}\) из обеих сторон уравнения:

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} \]

Приведем 1 к общему знаменателю:

\[ \sin^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \]

Теперь найдем \(\sin \alpha\), извлекая квадратный корень:

\[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5} \]

В IV четверти значение \(\sin \alpha\) будет отрицательным, поэтому:

\[ \sin \alpha = -\frac{3}{5} \]

Таким образом, значение \(\sin \alpha\) равно \(-\frac{3}{5}\).