Двум малярам Диме и Олегу поручили выкраснть фасад дома. Они разделили фасад на две равные части и одновременно приступили к работе. Дима использовал краскопульт, а Олег красил…
Двум малярам Диме и Олегу поручили выкраснть фасад дома. Они разделили фасад на две равные части и одновременно приступили к работе. Дима использовал краскопульт, а Олег красил фасад вручную. Известно, что Дима красит краскопультом в три раза быстрее, чем Олег вручную. Через некоторое время они одновременно поменяли способ покраски: Дима стал красить вручную, а Олег краскопультом. При этом производительность каждого изменилась в два раза: у Олега увеличнлась в два раза, а у Димы уменьшилась. Покраску своей части фасада они закончнли одновременно. Сколько квадратных метров покрасил краскопультом Дима, если весь фасад дома составляет 300 м2
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим скорость работы Олега как \( v \) квадратных метров в час. Таким образом, Дима, работающий краскопультом, будет красить со скоростью \( 3v \) квадратных метров в час.
Площадь фасада дома составляет 300 м², и так как они разделили его на две равные части, каждый из них красит по 150 м².
Предположим, что они работают над покраской фасада в течение времени \( t_1 \) часов для первой части, а затем \( t_2 \) часов для второй части.
Первый этап (первоначальный способ)
- Дима красит краскопультом: за \( t_1 \) часов он покрасит \( 3v \cdot t_1 \) м².
- Олег красит вручную: за \( t_1 \) часов он покрасит \( v \cdot t_1 \) м².
У нас есть система уравнений: \[ 3v \cdot t_1 = 150 \] \[ v \cdot t_1 = 150 \]
Вместо первого уравнения можно выразить \( t_1 \): \[ t_1 = \frac{150}{3v} = \frac{50}{v} \]
Теперь подставим это значение в второе уравнение: \[ v \cdot \frac{50}{v} = 150 \] Это верно, так как \( 50 = 150 \) не выполняется. Вместо этого сделаем следующее:
Второй этап (поменяли способы покраски)
- Дима, работающий вручную, теперь будет красить со скоростью \( \frac{v}{2} \) (уменьшение в 2 раза).
- Олег, работающий краскопультом, будет красить со скоростью \( 6v \) (увеличение в 2 раза).
За \( t_2 \) часов:
- Дима покрасит: \( \frac{v}{2} \cdot t_2 \) м².
- Олег покрасит: \( 6v \cdot t_2 \) м².
Теперь составим уравнения для второй части: \[ \frac{v}{2} \cdot t_2 + 6v \cdot t_2 = 150 \]
Объединим и упростим: \[ \left( \frac{1}{2} + 6 \right) v \cdot t_2 = 150 \] \[ \left( \frac{1 + 12}{2} \right) v \cdot t_2 = 150 \] \[ \frac{13}{2} v t_2 = 150 \] \[ v t_2 = \frac{300}{13} \]
Условие о завершении работы
Поскольку Дима и Олег закончили покраску одновременно, то: \[ t_1 + t_2 = t_1 \text{ (для первого этапа)} + \frac{300}{13v} \text{ (для второго этапа)} \]
Теперь мы можем найти общее время: Подставим все известное в одно уравнение и решим:
- Подставим значение \( t_1 = \frac{50}{v} \) и \( t_2 = \frac{300}{13v} \)
- Дима покрасил краскопультом: \[ 3v \cdot t_1 = 150 \implies 3v \cdot \frac{50}{v} = 150 \]
Итак, он покрасил: \[ 3 \cdot 50 = 150 \, \text{м²} \]
Ответ: Дима покрасил краскопультом 150 м².
