Спрос на товар Х и его предложение заданы, соответственно, уравнениями Q=300 – 3P и Q= 3P – 50, где Q – количество единиц товара (в штуках), P – цена одной единицы товара (в рублях). Правительство вводит потоварный налог с производителей в виде фиксированной суммы за каждую проданную единицу продукции (t) , причем размер налога выбирается таким образом, чтобы поступления в государственный бюджет в результате его введения были максимальными. Определите равновесную цену, которую придется платить потребителям за каждую единицу товара после введения этого налога.
Для решения данной задачи необходимо сначала найти равновесную цену и количество товара без налога, а затем определить, как введение налога повлияет на цену, платимую потребителями.
Нахождение равновесной цены и количества товара без налога: Мы имеем два уравнения:
- Спрос: \( Q_d = 300 - 3P \)
- Предложение: \( Q_s = 3P - 50 \)
Чтобы найти равновесие, приравняем спрос и предложение: \[ 300 - 3P = 3P - 50 \]
Перемещаем все термины в одну сторону: \[ 300 + 50 = 3P + 3P \] \[ 350 = 6P \] Теперь решим уравнение для \( P \): \[ P = \frac{350}{6} \approx 58.33 \text{ руб.} \]
Подставим \( P \) обратно в одно из уравнений, чтобы найти \( Q \): \[ Q = 300 - 3 \cdot 58.33 \approx 300 - 175 = 125 \text{ штук.} \]
Итак, равновесная цена без налога составляет примерно 58.33 руб. при количестве 125 штук.
Введение налога: Предположим, что размер налога составляет \( t \) руб. за каждую проданную единицу. В этом случае, цена, получаемая производителями (цена предложения), будет равна \( P - t \). Теперь предложение будет записываться как: \[ Q_s = 3(P - t) - 50 \]
Приравняем спрос и предложение с учетом налога: \[ 300 - 3P = 3(P - t) - 50 \] Раскроем скобки: \[ 300 - 3P = 3P - 3t - 50 \]
Сложим все термины: \[ 300 + 50 + 3t = 6P \] \[ 350 + 3t = 6P \] Теперь выразим \( P \): \[ P = \frac{350 + 3t}{6} \]
Максимизация налоговых поступлений: Для максимизации поступлений от налога нужно найти, как \( t \) влияет на \( Q \). Текущая формула предложения после введения налога будет: \[ Q_s = 3(P - t) - 50 = 3\left(\frac{350 + 3t}{6} - t\right) - 50 \] Упрощая это, найдем общую зависимость.
Установив выражение для количества, найдем его по производной и решим уравнение на максимизацию. Поскольку это довольно сложная задача, целесообразнее использовать методы численного анализа или графические методы для нахождения оптимального налога \( t \).
Таким образом, конечная цена, которую платят потребители, будет зависеть от величины введённого налога \( t \). Если известен налог, то подставив его в уравнение \( P = \frac{350 + 3t}{6} \), вы сможете найти искомую цену.
