Музыкальная группа «Веселый Роджер» даёт концерты на рынке совершенной конкуренции. Функция рыночного спроса на концерты имеет вид 𝑄 = 50 − 0,5𝑃, где 𝑄 – количество концертов, а 𝑃 – цена билета на концерт. Функция затрат группы «Веселый Роджер» на организацию концертов имеет вид 𝑇𝐶 = 𝑄3 − 10𝑄2 + 𝑏𝑄. Найдите, при каком значении параметра 𝑏 группа «Веселый Роджер» будет давать ненулевое количество концертов в состоянии долгосрочного равновесия.

Для того чтобы найти значение параметра \( b \), при котором группа «Веселый Роджер» будет давать ненулевое количество концертов в долгосрочном равновесии на рынке совершенной конкуренции, нам необходимо рассмотреть условия, при которых цена равна предельным затратам (MC) и общей выручке (TR) равна общим расходам (TC).

1. Найдем функцию предельных затрат (MC):

   Сначала найдем производную функции общих затрат \( TC \) по количеству концертов \( Q \): \[ TC = Q^3 - 10Q^2 + bQ \] \[ MC = \frac{d(TC)}{dQ} = 3Q^2 - 20Q + b \]

2. Установим равенство цены и предельных затрат:

   В условиях совершенной конкуренции цена \( P \) равна предельным затратам \( MC \). Используем функцию спроса, чтобы найти \( P \): \[ Q = 50 - 0.5P \quad \Rightarrow \quad P = 100 - 2Q \]

   Подставим \( P \) в равенство \( P = MC \): \[ 100 - 2Q = 3Q^2 - 20Q + b \]

   Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 3Q^2 - 18Q + (b - 100) = 0 \]

3. Найдем условия для наличия решения:

   Дискриминант данного квадратного уравнения должен быть неотрицательным для того, чтобы существовало хотя бы одно решение для \( Q \): \[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (b - 100) \geq 0 \] \[ 324 - 12(b - 100) \geq 0 \] \[ 324 - 12b + 1200 \geq 0 \] \[ 1524 - 12b \geq 0 \] \[ 12b \leq 1524 \] \[ b \leq 127 \]

Таким образом, для того чтобы группа «Веселый Роджер» могла давать ненулевое количество концертов в состоянии долгосрочного равновесия, параметр \( b \) должен быть меньше или равен 127.

Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно рассмотреть какие-то этапы, дайте знать!