пример индукции

Индукция — это метод математического доказательства, который используется для установки истинности утверждений для всех натуральных чисел. Он состоит из двух этапов: базового шага и индукционного шага.

Рассмотрим пример индукции, чтобы лучше понять этот процесс. Допустим, мы хотим доказать, что для любого натурального числа \( n \) верно следующее утверждение:

\[ S(n): 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2} \]

1. Базовый шаг: Проверим, что утверждение верно для \( n = 1 \):

\[ S(1): 1 = \frac{1(1 + 1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1 \]

Базовый шаг выполнен, так как обе стороны равны.

2. Индукционный шаг: Теперь предположим, что утверждение верно для некоторого \( n = k \), то есть:

\[ S(k): 1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k + 1)}{2} \]

Теперь нужно доказать, что это утверждение также верно для \( n = k + 1 \):

\[ S(k + 1): 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) \]

Теперь упростим правую часть:

\[ \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) = \frac{k(k + 1)}{2} + \frac{2(k + 1)}{2} = \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} \]

\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]

Таким образом, мы показали, что:

\[ S(k + 1) = \frac{(k + 1)((k + 1) + 1)}{2} \]

Следовательно, утверждение верно и для \( n = k + 1 \).

Поскольку базовый шаг и индукционный шаг выполнены, можно заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел \( n \).

Это и есть пример математической индукции!