Вычислить производную функции y=cos√x, используя определение

Для вычисления производной функции \( y = \cos(\sqrt{x}) \) с использованием определения производной, используем следующий предел:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

В данном случае \( f(x) = \cos(\sqrt{x}) \).

Для начала, найдем \( f(x+h) \):

\[ f(x+h) = \cos(\sqrt{x+h}) \]

Теперь подставим это значение в формулу для производной:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(\sqrt{x+h}) - \cos(\sqrt{x})}{h} \]

Чтобы упростить это выражение, воспользуемся формулой разности косинусов:

\[ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \]

Здесь \( A = \sqrt{x+h} \) и \( B = \sqrt{x} \). Тогда:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{2}\right) \sin\left(\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{2}\right)}{h} \]

Обратите внимание, что для малых \( h \), мы можем приблизить \( \sqrt{x+h} \):

\[ \sqrt{x+h} = \sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}} + o(h) \]

Это приводит к:

\[ \sqrt{x+h} - \sqrt{x} \approx \frac{h}{2\sqrt{x}} \]

Теперь, подставим это в выражение для производной:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{4\sqrt{x}}\right)}{h} \]

Как \( h \to 0 \), \( \sin\left(\frac{h}{4\sqrt{x}}\right) \approx \frac{h}{4\sqrt{x}} \), и тогда:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{2}\right) \cdot \frac{h}{4\sqrt{x}}}{h} \]

Сокращая \( h \):

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{2}\right)}{4\sqrt{x}} = \frac{-\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \]

Таким образом, производная функции \( y = \cos(\sqrt{x}) \) будет равна:

\[ f'(x) = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \]

Итак, ответ:

\[ y' = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \]