Спутник вращающийся по круговой орбите вокруг планеты на высоте 3 10³км от ее поверхности, движется со скоростью 41,5 км/с Радиус планеты 71 10³км, масса планеты M. Определите значение М

Чтобы найти массу планеты \( M \), можно использовать формулу для центростремительного ускорения спутника, который движется по круговой орбите. Центростремительное ускорение связано с гравитационным притяжением.

Сначала вычислим расстояние от центра планеты до спутника:

1. Высота спутника \( h = 3 \times 10^3 \) км.
2. Радиус планеты \( R = 71 \times 10^3 \) км.

Таким образом, расстояние \( r \) от центра планеты до спутника будет равно:

\[ r = R + h = 71 \times 10^3 + 3 \times 10^3 = 74 \times 10^3 \text{ км} = 74 \times 10^6 \text{ м} \]

Скорость спутника給 обозначена как \( v = 41,5 \) км/с.

Теперь используем формулу для центростремительного ускорения:

\[ a = \frac{v^2}{r} \]

Гравитационное притяжение также выражается через массу планеты \( M \):

\[ a = \frac{GM}{r^2} \]

где \( G \) – гравитационная постоянная \( G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \).

Сравнив оба выражения для \( a \):

\[ \frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2} \]

Умножив обе стороны на \( r^2 \), получаем:

\[ v^2 r = GM \]

Теперь выразим массу \( M \):

\[ M = \frac{v^2 r}{G} \]

Подставляем известные значения:

1. \( v = 41.5 \) км/с = \( 41.5 \times 10^3 \) м/с.
2. \( r = 74 \times 10^6 \) м.
3. \( G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \).

Теперь подставим числа:

\[ M = \frac{(41.5 \times 10^3)^2 \times (74 \times 10^6)}{6.674 \times 10^{-11}} \]

Сначала вычислим \( (41.5 \times 10^3)^2 \):

\[ (41.5 \times 10^3)^2 = 1.727225 \times 10^9 \]

Теперь подставим это выражение в формулу для массы:

\[ M = \frac{1.727225 \times 10^9 \times 74 \times 10^6}{6.674 \times 10^{-11}} \]

Теперь вычислим:

\[ M = \frac{1.727225 \times 74 \times 10^{15}}{6.674 \times 10^{-11}} \approx \frac{127.82055 \times 10^{15}}{6.674 \times 10^{-11}} \approx 1.915 \times 10^{22} \text{ кг} \]

Итак, масса планеты \( M \) примерно равна \( 1.915 \times 10^{22} \) кг.