1.139. Упростите выражение: a) √(a - 7)² при а >= 7; б) √(а + 8)² при а < -8; b) √(y - 3)² + √(y - 5)² при 3 <= y <= 5; r) √(x + 4)² - √(x - 1)² при x < -4.
Давайте упростим каждое из данных выражений по порядку.
a) \( \sqrt{(a - 7)^2} \) при \( a \geq 7 \): Для неотрицательных значений выражение под квадратным корнем всегда будет равно самому выражению. Так как \( a - 7 \) неотрицательно при \( a \geq 7 \), то: \[ \sqrt{(a - 7)^2} = a - 7. \]
б) \( \sqrt{(a + 8)^2} \) при \( a < -8 \): В этом случае \( a + 8 \) будет отрицательным, поэтому: \[ \sqrt{(a + 8)^2} = -(a + 8) = -a - 8. \]
в) \( \sqrt{(y - 3)^2} + \sqrt{(y - 5)^2} \) при \( 3 \leq y \leq 5 \): Здесь \( y - 3 \) неотрицательно, а \( y - 5 \) неотрицательно только на границе \( y = 5 \). Таким образом, упрощаем по интервалам:
- Для \( y = 3 \): \[ \sqrt{(3 - 3)^2} + \sqrt{(3 - 5)^2} = 0 + 2 = 2. \]
- Для \( 3 < y < 5 \): \[ \sqrt{(y - 3)^2} + \sqrt{(y - 5)^2} = (y - 3) + (5 - y) = 2. \]
- Для \( y = 5 \): \[ \sqrt{(5 - 3)^2} + \sqrt{(5 - 5)^2} = 2 + 0 = 2. \] Таким образом, для всего интервала: \[ \sqrt{(y - 3)^2} + \sqrt{(y - 5)^2} = 2. \]
г) \( \sqrt{(x + 4)^2} - \sqrt{(x - 1)^2} \) при \( x < -4 \): Для \( x < -4 \):
- \( x + 4 < 0 \) и \( x - 1 < 0 \), поэтому: \[ \sqrt{(x + 4)^2} = -(x + 4) = -x - 4, \] \[ \sqrt{(x - 1)^2} = -(x - 1) = -x + 1. \] Таким образом, упрощаем: \[ \sqrt{(x + 4)^2} - \sqrt{(x - 1)^2} = (-x - 4) - (-x + 1) = -4 - 1 = -5. \]
В итоге, упрощенные выражения:
a) \( a - 7 \)
б) \( -a - 8 \)
в) \( 2 \)
г) \( -5 \)
Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь по теме, не стесняйтесь обращаться!
