Найлите область опрелелсния функши: y=vз-8х, 2y 6r7-5r+1 3. Постройте график фуикии У=—х-4x+5.С похощью графика найдие: а)область опрслелсния область значсния; б)нули фуикции; в) промежутки знакопостоянства; г) промсжутки возрастання н убывания; д) нанменьшее и наибольшее значения функции, если они имеются. 4. Кажлый график соотсстс с соотвстствуюшсй формулой
Давайте разберем каждый пункт вашего задания шаг за шагом.
Нахождение области определения функции \( y = -x^2 - 4x + 5 \)
Область определения функции — это все значения \( x \), при которых функция имеет смысл. У данной функции нет ограничений (например, деления на ноль или радикалов с отрицательным подкоренным выражением), поэтому область определения — это все действительные числа: \[ D(y) = \mathbb{R} \]
Построение графика функции
Чтобы построить график функции, сначала можно выделить ее общую форму. Функция имеет вид квадратичной: \[ y = -x^2 - 4x + 5 \] Это парабола, направленная вниз, так как перед \( x^2 \) стоит отрицательный коэффициент.
Нахождение области значений
Область значений функции — это все возможные значения \( y \), которые может принимать данная функция. Для этого найдем вершину параболы, используя формулу: \[ x_{в} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot -1} = 2 \] Теперь подставим \( x_{в} \) в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение \( y \): \[ y_{в} = -(2^2) - 4 \cdot 2 + 5 = -4 - 8 + 5 = -7 \] Так как парабола направлена вниз, максимальное значение функции равно \( 5 \) (при \( x = -2 \)), а минимальное приближается к \( -\infty \). Таким образом: \[ E(y) = (-\infty, 5] \]
Нахождение нулей функции
Чтобы найти нули функции, приравняем функцию к нулю: \[ -x^2 - 4x + 5 = 0 \] Умножим на -1: \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \] Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \] Итак, нули функции: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -5 \).
Промежутки знакопостоянства
Чтобы определить, где функция положительна или отрицательна, проведем анализ знака:
- Интервалы: \( (-\infty, -5) \), \( (-5, 1) \), \( (1, \infty) \)
- Возьмем тестовые точки:
- Для \( x = -6 \): \( y = -(-6)^2 - 4(-6) + 5 = -36 + 24 + 5 = -7 \) (отрицательное)
- Для \( x = 0 \): \( y = -(0)^2 - 4(0) + 5 = 5 \) (положительное)
- Для \( x = 2 \): \( y = -(2)^2 - 4(2) + 5 = -7 \) (отрицательное)
Следовательно, функция положительна на интервале \( (-5, 1) \).
Промежутки возрастания и убывания
Функция возрастает на интервале \( (-5, -2) \) и убывает на интервалах \( (-\infty, -5) \) и \( (-2, \infty) \).
Нахождение наименьшего и наибольшего значений
У функции наибольшее значение \( 5 \) при \( x = -2 \). Поскольку функция стремится к \( -\infty \), наименьшего значения нет.
Теперь мы собрали всю информацию. Вы можете использовать приведенные данные для построения графика функции. Если есть дополнительные вопросы или требуется больше разъяснений — обращайтесь!
