Найдите ортоцентр треугольника abc зная его вершины a(1;2) b(1;3) c(-2;4)

Чтобы найти ортоцентр треугольника \(ABC\) с вершинами \(A(1, 2)\), \(B(1, 3)\), \(C(-2, 4)\), сначала необходимо найти уравнения высот треугольника, а затем их точку пересечения.

1. Найдём уравнение стороны \(AB\):

   • Поскольку точки \(A\) и \(B\) имеют одинаковую x-координату (1), сторона \(AB\) является вертикальной. То есть: \[ x = 1 \]

2. Найдём уравнение высоты, проведенной из точки \(C\):

   • Сначала находим угол наклона отрезка \(AB\), который вертикален, следовательно, высота из точки \(C\) будет горизонтальной (это означает, что мы можем использовать уравнение с постоянной y):
   • Уравнение высоты из \(C\) будет: \[ y = 4 \]

3. Найдём уравнение стороны \(AC\):

   • Для вычисления наклона \(AC\) используем формулу: \[ k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{4 - 2}{-2 - 1} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \]
   • Уравнение для прямой \(AC\) в форме \(y = kx + b\): \[ y - 2 = -\frac{2}{3}(x - 1) \implies y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} + 2 = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3} \]

4. Теперь найдем высоту из точки \(B\) на прямую \(AC\):

   • Уравнение для высоты из \(B(1, 3)\) имеет вид \(y - 3 = \frac{3}{2}(x - 1)\) (перпендикулярно \(AC\)): \[ y - 3 = \frac{3}{2}(x - 1) \implies y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}x + 1.5 \]

5. Найдём точку пересечения двух высот:

   • Систему уравнений: \[ y = 4 \quad (высота из C) \] \[ y = \frac{3}{2}x + 1.5 \quad (высота из B) \]
   • Подставим \(y = 4\) во второе уравнение: \[ 4 = \frac{3}{2}x + 1.5 \] \[ 4 - 1.5 = \frac{3}{2}x \implies 2.5 = \frac{3}{2}x \implies x = \frac{2.5 \cdot 2}{3} = \frac{5}{3} \]
   • Теперь найдем \(y\): \[ y = 4 \]

6. Таким образом, ортоцентр \(H\) треугольника \(ABC\) находится в точке: \[ H\left(\frac{5}{3}, 4\right) \]

Ответ: ортоцентр треугольника \(ABC\) находится в точке \(H\left(\frac{5}{3}, 4\right)\).