3^x+3^(3-x)=12

Для решения уравнения \(3^x + 3^{3-x} = 12\), начнем с упрощения второго слагаемого. Можно записать \(3^{3-x}\) как \(\frac{3^3}{3^x} = \frac{27}{3^x}\). Таким образом, уравнение принимает следующий вид:

\[ 3^x + \frac{27}{3^x} = 12 \]

Теперь давайте обозначим \(y = 3^x\). Подставляем это обозначение в уравнение:

\[ y + \frac{27}{y} = 12 \]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на \(y\) (при условии, что \(y \neq 0\)):

\[ y^2 + 27 = 12y \]

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\[ y^2 - 12y + 27 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) равен:

\[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения. Находим корни уравнения с помощью формулы корней:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 6}{2} \]

Таким образом, получаем:

\[ y_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad y_2 = \frac{6}{2} = 3 \]

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):

1. Если \(y = 9\), то \(3^x = 9\), следовательно, \(x = 2\).
2. Если \(y = 3\), то \(3^x = 3\), следовательно, \(x = 1\).

Таким образом, решения уравнения \(3^x + 3^{3-x} = 12\) имеют значения \(x = 2\) и \(x = 1\).